Strahlensätze und ähnliche Dreiecke

Lernziele

• Du kannst mit den Strahlensätzen unbekannte Längen berechnen.
• Du erkennst ähnliche Dreiecke und kannst mit Seitenverhältnissen arbeiten.

Die Strahlensätze

Zwei Geraden durch denselben Punkt $Z$, geschnitten von zwei parallelen Geraden — diese Figur steckt in unzähligen Anwendungen. Die Streckung von der letzten Seite liefert uns direkt die Gesetze dazu: Die äussere Parallele ist das Bild der inneren unter einer Streckung von $Z$ aus.

1. Strahlensatz (Abschnitte auf den Strahlen):

$\frac{\overline{ZB}}{\overline{ZA}} = \frac{\overline{ZD}}{\overline{ZC}}$

2. Strahlensatz (Parallelenabschnitte zu Strahlenabschnitten):

$\frac{\overline{BD}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{ZB}}{\overline{ZA}}$

In Worten: Die Parallelen schneiden auf beiden Strahlen dieselben Verhältnisse ab, und die Parallelenstücke stehen im selben Verhältnis wie die Strahlenabschnitte.

Das Paradebeispiel: Höhenmessung

Ein Baum wirft einen 12 m langen Schatten. Ein 1.8 m grosser Mensch daneben wirft einen 2.4 m langen Schatten. Wie hoch ist der Baum?

Die Sonnenstrahlen sind (praktisch) parallel — Strahlensatzfigur! Mensch und Baum stehen im selben Verhältnis wie ihre Schatten:

$\frac{h}{1.8} = \frac{12}{2.4} \qquad \Rightarrow \qquad h = 1.8 \cdot 5 = 9$

Der Baum ist 9 m hoch. So haben schon die alten Griechen Pyramiden vermessen — Thales soll genau diesen Trick benutzt haben.

Ähnliche Dreiecke

Zwei Dreiecke heissen ähnlich (Zeichen: $\sim$), wenn das eine ein gestrecktes Bild des anderen ist — gleiche Form, andere Grösse. Praktisch prüfst du das am schnellsten so:

Ähnlichkeitssatz (der wichtigste)

Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, sind sie ähnlich. (Der dritte Winkel stimmt dann automatisch, wegen der Winkelsumme 180°.)

Bei ähnlichen Dreiecken stehen entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis. Das ist das Werkzeug, um unbekannte Seiten zu berechnen: ähnliche Dreiecke finden, entsprechende Seiten zuordnen, Verhältnisgleichung aufstellen.

Beispiel: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ mit $\overline{AB} = 4$, $\overline{DE} = 6$, $\overline{BC} = 5$. Gesucht: $\overline{EF}$.

$\frac{\overline{EF}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{AB}} = \frac{6}{4} = 1.5 \qquad \Rightarrow \qquad \overline{EF} = 5 \cdot 1.5 = 7.5$

Kurz geprüft

Aufgaben

a) Bei einer Strahlensatzfigur ist $\overline{ZA} = 3$, $\overline{ZB} = 7.5$ und $\overline{AC} = 4$. Berechne $\overline{BD}$.b) Ein 1.6 m grosser Mensch steht 2 m von einer Strassenlampe entfernt und wirft einen 3 m langen Schatten. Wie hoch hängt die Lampe? (Skizze hilft!)c) Begründe: Jedes Dreieck wird durch eine Mittellinie (Verbindung zweier Seitenmittelpunkte) in ein ähnliches Dreieck mit $k = \frac{1}{2}$ und ein Trapez zerlegt.