Zentrische Streckung

Lernziele

• Du kannst eine Figur von einem Zentrum aus strecken, mit positivem und negativem Streckfaktor.
• Du weisst, wie sich Strecken, Winkel und Flächen bei der Streckung verhalten.

Vergrössern mit System

Beamer, Fotokopierer auf 141 %, Zoom auf dem Handy: Überall werden Figuren vergrössert oder verkleinert, ohne ihre Form zu verändern. Die geometrische Abbildung dahinter ist die zentrische Streckung.

Sie braucht zwei Angaben:

• ein Streckzentrum $Z$ (ein fester Punkt),
• einen Streckfaktor $k$ (eine Zahl).

Die Regel für jeden Punkt $P$: Der Bildpunkt $P'$ liegt auf der Geraden durch $Z$ und $P$, und zwar so, dass

$\overline{ZP'} = k \cdot \overline{ZP}$

Bei $k = 2$ ist jeder Bildpunkt doppelt so weit vom Zentrum entfernt wie sein Original. Bei $k = \frac{1}{2}$ halb so weit — die Figur wird verkleinert.

Konstruktion von Hand

So streckst du ein Dreieck $ABC$ von $Z$ aus mit $k = 2$:

1. Zeichne die Halbgerade von $Z$ durch $A$.
2. Trage darauf die doppelte Distanz ab: $\overline{ZA'} = 2 \cdot \overline{ZA}$.
3. Dasselbe für $B$ und $C$.
4. Verbinde $A'$, $B'$, $C'$.

Aufgabe 1: Konstruieren

Zeichne ein Dreieck $ABC$ und einen Punkt $Z$ ausserhalb. Konstruiere das Bild bei der Streckung von $Z$ aus:a) mit $k = 2$b) mit $k = \frac{1}{2}$c) mit $k = -1$ — trage die Distanz auf der anderen Seite von $Z$ ab. Was fällt dir auf?

Negative Streckfaktoren

Bei negativem $k$ wird die Distanz auf der Gegenseite des Zentrums abgetragen. Die Bildfigur steht dann «auf dem Kopf». Der Spezialfall $k = -1$ ist genau die Punktspiegelung an $Z$ — jeder Punkt wandert auf die andere Seite, gleich weit weg.

Was bleibt, was ändert sich?

Bei einer Streckung mit Faktor $k$ gilt:

Grösse	Verhalten
Strecken	werden mit $\lvert k \rvert$ multipliziert
Winkel	bleiben gleich
Geraden	bleiben Geraden, Bild ist parallel zum Original
Flächen	werden mit $k^2$ multipliziert

Der letzte Punkt überrascht viele. Ein Quadrat mit Seite 1 hat Fläche 1. Streckst du es mit $k = 3$, hat das Bild Seite 3 — und Fläche $3 \cdot 3 = 9$. Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Faktors, weil sie in zwei Richtungen gestreckt wird.

Kurz geprüft

Alltagscheck

Eine Pizza mit 32 cm Durchmesser ist nicht doppelt so gross wie eine mit 16 cm — sie ist viermal so gross ($k = 2$, Fläche mal $k^2 = 4$). Beim nächsten Pizzakauf lohnt sich ein Blick auf die Preise mit dieser Brille.