Binärsystem

Lernziele

• Sie können im Binärsystem zählen.
• Sie können Dezimalzahlen ins Binärsystem umwandeln und umgekehrt.
• Sie wissen, dass man eine Ziffer einer Binärzahl (entweder 0 oder 1) in der Informatik ein Bit nennt.

Zahlen aus nur 0 und 1?

Nun stellt sich die Frage: Wie wollen wir mit nur drei LEDs Zahlen repräsentieren?

Wenn man einfach LEDs zählen würde, die ON sind, hätte man vier Zahlen: 0, 1, 2, 3. Aber wir können viel mehr Zahlen verwenden, wenn wir alle möglichen Kombinationen verwenden.

Wie viele Kombinationen gibt es?

Einführung und zählen im Binärsystem

Nun kann man sich überlegen, was die sinnvollste Reihenfolge für die Kombinationen der Lämpchen ist. Und da gibt es eine Zählart, die deutlich logischer ist, als alle Alternativen.

Die Logik der Zählart ist nämlich dieselbe wie im Dezimalsystem – nur haben wir statt zehn einfach nur zwei Symbole: die 0 und die 1. Wir zählen also:

0
1

Schon sind die Symbole aufgebraucht. Im Dezimalsystem passiert das erst nach der 9: Dann beginnt eine neue Stelle und die alte Stelle wird 0 - und wir schreiben 10. Im Binärsystem machen wir es genauso – nur eben viel früher:

 0
 1
10
11

Nach 11 sind wieder alle Symbole an der Einerstelle verbraucht, also schlägt der Übertrag auf die nächste Stelle um:

100
101
110
111

Und so weiter. Das ist die ganze Logik: zählen wie gewohnt, aber nach der 1 kommt der Übertrag auf die nächste Stelle.

Wie unterscheidet man die Zahlensysteme?

Man muss gut unterscheiden, welches Zahlensystem man meint:

Mündlich spricht man die Binärzahl 100 als «eins null null» aus, nicht «einhundert» – es sind ja bei Weitem nicht einhundert Dinge, sondern Vier.

Diese Unterscheidung macht man auch schriftlich mit einem Subskript, zum Beispiel:

• Bei $100_{\color{red}2}$ signalisiert die kleine 2, dass es eine Binärzahl ist. Dezimal hat diese den Wert 4.
• Bei $100_{\color{green}10}$ signalisiert die kleine 10, dass es eine Dezimalzahl ist.

(Die Farben sind egal.)

Stellenwerte im Binärsystem

Aus dieser Zähllogik ergeben sich auch die Stellenwerte des Binärsystems.

Überlegen Sie sich bei jeder neuen Stelle: Wie viel ist diese Stelle wert? Wenn Sie parallel dezimal zählen, steht die Antwort direkt daneben.

 BIN DEZIMAL
   0 0
   1 1
  10 2
  11 3
 100 4
 101 5
 110 6
 111 7
1000 8
1001 9
1010 10
1011 11
...

1. Die erste Stelle (rot) sind wie im Dezimalsystem Einer.
2. Die zweite Stelle (grün) sind Zweier.
3. Die dritte Stelle (blau) sind Vierer.
4. Die vierte Stelle (orange) sind Achter.

Überlegen Sie sich, ob Sie einen direkteren Weg finden: Wieso ist $1011_{2}$ im Binärsystem 11 im Dezimalsystem wert?

Antwort (aber überlegen Sie selbst!)

Es hat einen Achter + einen Zweier + einen Einer.

$8+2+1=11$

Schauen Sie sich mal die die Reihenfolge der Stellenwerte an - fällt Ihnen etwas auf? Was wäre wohl die fünfte Stelle? Die sechste? Die siebte? ...

  BIN DEZIMAL
    1 1
   10 2
  100 4
 1000 8
10000 16
...

Antwort (aber überlegen Sie selbst!)

Der Stellenwert verdoppelt sich immer. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...

Umrechnen von Binär und Dezimal

Um Zahlen zwischen dem Binärsystem und dem Dezimalsystem umzuwandeln, hilft uns der Blick auf die Stellenwerte.

1. Binärzahl in Dezimalzahl umwandeln

Da wir wissen, dass sich die Stellenwerte von rechts nach links verdoppeln ($1, 2, 4, 8, 16, \dots$), ist das Umrechnen ganz einfach: Wir schreiben die Stellenwerte über die Binärzahl und zählen alle Werte zusammen, bei denen eine $1$ steht.

Beispiel: Wir wollen $1101_2$ in eine Dezimalzahl umwandeln.

Schritt 1: Stellenwerte überlegen

Stellenwerte	8	4	2	1
Binärzahl	1	1	0	1

Schritt 2: Summieren

Wir haben also einen Achter, einen Vierer, null Zweier und einen Einer.

Das können Sie direkt als Summe schreiben:

$\textcolor{orange}{8 \cdot 1} + \textcolor{blue}{4 \cdot 1} + \textcolor{green}{2 \cdot 0} + \textcolor{red}{1 \cdot 1} = 13_{10}$

Übungen

Schreiben Sie bei den Antworten nur die Zahl, ohne Subskript (also z.B. 13, nicht $13_{10}$).

2. Dezimalzahl in Binärzahl umwandeln

Umgekehrt gehen wir Schritt für Schritt von links nach rechts vor. Wir prüfen für jeden Stellenwert (von der grössten passenden Zweierpotenz abwärts), ob er in unseren verbleibenden Rest hineinpasst.

Beispiel: Wir wollen die Dezimalzahl $11_{10}$ als Binärzahl darstellen.

Grösstmögliche Binärstelle finden

Wir beginnen bei der grössten Binärstelle, die noch in die Zahl passt. 1, 2, 4, 8 - weil 16 wäre bereits zu gross.

Stellen von gross nach klein auffüllen

Wir gehen Stelle für Stelle vor und füllen dabei die Tabelle von links nach rechts.

Stellenwert	8	4	2	1
Ziffer
Restwert

Schritt 1: Achter

Passt die 8 in den Rest 11? Ja: $11 - 8 = 3$.

Stellenwert	8	4	2	1
Ziffer	1
Restwert	3

Schritt 2: Vierer

Passt die 4 in den Rest 3? Nein, 4 ist zu gross.

Stellenwert	8	4	2	1
Ziffer	1	0
Restwert	3	3

Schritt 3: Zweier

Passt die 2 in den Rest 3? Ja: $3 - 2 = 1$.

Stellenwert	8	4	2	1
Ziffer	1	0	1
Restwert	3	3	1

Schritt 4: Einer

Passt die 1 in den Rest 1? Ja: $1 - 1 = 0$.

Stellenwert	8	4	2	1
Ziffer	1	0	1	1
Restwert	3	3	1	0

Wenn wir die Ziffern-Zeile von links nach rechts ablesen, erhalten wir: $11_{10} = 1011_2$

Übungen

Schreiben Sie bei den Antworten nur die Ziffernfolge, ohne Subskript (also z.B. 1101, nicht $1101_2$).

Bit und Byte

Zum Schluss noch zwei Fachbegriffe, die Sie ab jetzt überall antreffen werden.

• Eine einzelne Stelle im Speicher kann eine einzelne 0 oder 1 repräsentieren. Das nennen wir ein Bit (von englisch binary digit, «Binärziffer»). Bei unserem Addierer war ein Lämpchen oder ein Schalter jeweils ein Bit. In Ihrem Computer übernehmen das natürlich keine Lämpchen, sondern verschiedene winzige Bauteile mit zwei Zuständen. Das Prinzip bleibt immer das gleiche: Ein Speicherplatz mit zwei möglichen Zuständen entspricht einem Bit. Jedes zusätzliche Bit verdoppelt die Anzahl Kombinationen, wie wir am Beispiel der Lämpchen gesehen haben.
• Acht von diesen Bits zusammen ergeben ein Byte. Ein Byte kann also 256 verschiedene Werte annehmen – die Zahlen von 0 bis 255. Das ist die übliche Portionsgrösse in der Informatik: Speicher und Dateigrössen werden in Bytes gemessen.

Jetzt nutzt man die bekannten Vorsilben wie Kilo ($10^3$), Mega ($10^6$), Giga ($10^9$) oder Tera ($10^{12}$), um grössere Speicher zu beschreiben. Einziger Unterschied: Weil die Speicheradressen binär sind, nutzt man als Schwelle nicht $10^3$ (1000), sondern die nächstliegendste Zweierpotenz: $2^{10}$ (1024).

1 Kilobyte = 1024 Bytes
1 Megabyte = 1024 Kilobytes
1 Gigabyte = 1024 Megabytes
1 Gigabyte = 1024 * 1024 * 1024 Bytes = 1'073'741'824 Bytes

Es genügt, wenn Sie sich merken, dass Sie beim 1024-er Schritte machen müssen. Um die Grössenordnung abzuschätzen, reichen Zehnerpotenzen. Ein Gigabyte hat ungefähr eine Milliarde Bytes.

Probieren Sie es aus: Schalten Sie die acht Bits dieses Bytes ein und aus. Welche Bits müssen Sie setzen, um auf 255 zu kommen? Und auf 100?

Abkürzungen

Bit kürzt man klein ab (b), Byte gross (B).

Üben mit dem Binary Game

Wer das Umrechnen trainieren will: Im Binary Game von Cisco fallen Zeilen herunter wie bei Tetris. Setzen Sie die Bits so, dass sie die Dezimalzahl ergeben, oder tippen Sie die Dezimalzahl zu den gesetzten Bits ein, bevor der Stapel oben ankommt.

Falls das Spiel hier zu klein ist: Binary Game im eigenen Fenster öffnen.