Bedingte Wahrscheinlichkeit

Lernziele

• Du kannst bedingte Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Vierfeldertafel berechnen.
• Du verstehst die Formel $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ und kannst sie anwenden.

Wenn Zusatzwissen die Wahrscheinlichkeit ändert

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gewürfelte Zahl eine 6 ist? Klar: $\frac{1}{6}$.

Jetzt verrät dir jemand: «Die Zahl ist gerade.» Plötzlich kommen nur noch 2, 4, 6 in Frage — die Wahrscheinlichkeit für die 6 ist auf $\frac{1}{3}$ gestiegen.

Das ist die Kernidee der bedingten Wahrscheinlichkeit: Zusatzinformation verkleinert die Menge der möglichen Ergebnisse, und die Wahrscheinlichkeiten werden neu verteilt. Wir schreiben:

$P_B(A) = \text{Wahrscheinlichkeit von } A \text{, wenn man weiss, dass } B \text{ eingetreten ist}$

Im Beispiel: $P_{\text{gerade}}(6) = \frac{1}{3}$.

Die Formel

Von den Ergebnissen in $B$ interessieren uns die, die auch in $A$ liegen — also $A \cap B$. Gemessen wird ihr Anteil an $B$, nicht am Ganzen:

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Würfel-Check: $P(6 \cap \text{gerade}) = P(6) = \frac{1}{6}$ und $P(\text{gerade}) = \frac{1}{2}$, also $P_B(A) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$. ✓

Werkzeug 1: Das Baumdiagramm

In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe sind bedingte Wahrscheinlichkeiten: $\frac{2}{4}$ ist die Wahrscheinlichkeit für rot, wenn schon eine rote gezogen wurde. Die Pfadregeln kennst du:

• Multiplizieren längs eines Pfads: $P(\text{rot, rot}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$
• Addieren über mehrere Pfade: $P(\text{genau einmal rot}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$

Die Multiplikationsregel ist übrigens genau unsere Formel, umgestellt: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A)$.

Werkzeug 2: Die Vierfeldertafel

An einer Schule spielen 60 % der Schülerinnen und Schüler ein Instrument. 40 % treiben Sport im Verein, und 30 % tun beides.

	Instrument	kein Instrument	Summe
Sport	0.30	0.10	0.40
kein Sport	0.30	0.30	0.60
Summe	0.60	0.40	1

Aus den drei gegebenen Zahlen (fett wären: 0.60, 0.40, 0.30) füllt sich der Rest durch Subtraktion. Jetzt lassen sich alle bedingten Wahrscheinlichkeiten ablesen, z.B.:

$P_{\text{Sport}}(\text{Instrument}) = \frac{0.30}{0.40} = 0.75$

Von den Sporttreibenden spielen 75 % ein Instrument — deutlich mehr als die 60 % insgesamt.

Kurz geprüft

Beachte: $P_B(A) \ne P_A(B)$ im Allgemeinen! Die Reihenfolge der Bedingung macht einen echten Unterschied — dazu auf der nächsten Seite mehr.

Aufgaben

1. Zwei Würfel werden geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme von 8, wenn man weiss, dass beide Zahlen gerade sind?
2. In einer Schachtel sind 4 weisse und 6 schwarze Kugeln. Zwei werden ohne Zurücklegen gezogen. Berechne mit einem Baum: a) $P(\text{beide schwarz})$, b) $P(\text{zweite weiss})$.
3. Von 200 Personen sind 80 geimpft. 5 der Geimpften und 30 der Ungeimpften erkranken. Erstelle eine Vierfeldertafel und berechne $P_{\text{geimpft}}(\text{krank})$ und $P_{\text{krank}}(\text{geimpft})$.