Bruchgleichungen

Lernziele des Kapitels

• Sie können die Definitionsmenge (auch Definitionsbereich genannt) einer Bruchgleichung bestimmen.
• Sie erkennen Scheinlösungen und schliessen sie aus.
• Sie lösen Bruchgleichungen in drei Schritten: $D$ bestimmen, nennerfrei machen, Lösungen prüfen.
• Sie lösen Bruchgleichungen mit Parametern nach einer Variablen auf.
• Sie übersetzen einen Text in eine Bruchgleichung und prüfen das Resultat am Text.

Beispiel

Beispiel 1

Lösen Sie die Bruchgleichung:

$$\frac{3x+4}{2x-8}=\frac{16}{2x-8}$$

Definitionsmenge beachten

Die Definitionsmenge wird immer am ursprünglichen Term abgelesen, bevor umgeformt wird – nach dem Kürzen sieht man die verbotenen Stellen nicht mehr.

Vergleichen Sie zum Schluss jede gefundene Zahl mit $D$: Was nicht in $D$ liegt, ist eine Scheinlösung und gehört nicht in die Lösungsmenge. Auch $L=\{\ \}$ ist ein korrektes Resultat.

Beispiel mit verschiedenen Nennern

Beispiel 2

Lösen Sie die Bruchgleichung:

$$\frac{2}{\textcolor{orange}{x}}=\frac{3}{\textcolor{royalblue}{x+1}}$$

Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen.
Diesmal gibt es zwei verschiedene Nenner. Wir setzen jeden einzeln gleich null:

$$\textcolor{orange}{x}=0 \qquad\text{und}\qquad \textcolor{royalblue}{x+1}=0 \;\Big|\ -1 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

Die Zahlen $0$ und $-1$ sind also verboten:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-1;\ 0\}$$

Schritt 2: Nennerfrei machen.
Der gemeinsame Nenner enthält beide Nenner: $\textcolor{orange}{x}\cdot\textcolor{royalblue}{(x+1)}$. Wir multiplizieren beide Seiten damit:

$$\frac{2}{\textcolor{orange}{x}}\cdot\textcolor{orange}{x}\textcolor{royalblue}{(x+1)}=\frac{3}{\textcolor{royalblue}{x+1}}\cdot\textcolor{orange}{x}\textcolor{royalblue}{(x+1)}$$

Links kürzt sich $\textcolor{orange}{x}$ weg, rechts $\textcolor{royalblue}{(x+1)}$. Übrig bleibt:

$$\begin{aligned} 2\textcolor{royalblue}{(x+1)}&=3\textcolor{orange}{x} &&\Big|\ \text{ausmultiplizieren}\\[4pt] 2x+2&=3x &&\Big|\ -2x\\[4pt] 2&=x \end{aligned}$$

Schritt 3: Prüfen.
Liegt $x=2$ in $D$? Ja, verboten sind nur $-1$ und $0$. Zur Kontrolle setzen wir ein: Links steht $\frac{2}{2}=1$, rechts $\frac{3}{2+1}=1$. Es stimmt:

$$L=\{2\}$$