Bruchgleichungen

Lernziele

• Du kannst Bruchgleichungen lösen.
• Du kontrollierst deine Lösungen am Definitionsbereich.

Die Idee: Nenner wegmultiplizieren

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der die Variable im Nenner steht:

$\frac{6}{x} = 2$

Die Strategie ist immer dieselbe: Wir multiplizieren die ganze Gleichung mit dem Nenner (oder dem gemeinsamen Nenner), damit die Brüche verschwinden. Übrig bleibt eine gewohnte Gleichung.

$\frac{6}{x} = 2 \quad \Big|\ \cdot x \qquad \Rightarrow \qquad 6 = 2x \qquad \Rightarrow \qquad x = 3$

Das Vorgehen in vier Schritten

Beispiel: $\dfrac{2}{x-1} = \dfrac{3}{x+1}$

Schritt 1 — Definitionsbereich: Die Nenner werden null für $x = 1$ und $x = -1$, also $D = \mathbb{R} \setminus \{1; -1\}$.

Schritt 2 — Mit dem gemeinsamen Nenner multiplizieren: Der gemeinsame Nenner ist $(x-1)(x+1)$.

$\frac{2}{x-1} \cdot (x-1)(x+1) = \frac{3}{x+1} \cdot (x-1)(x+1)$

$2(x+1) = 3(x-1)$

Schritt 3 — Auflösen:

$2x + 2 = 3x - 3 \qquad \Rightarrow \qquad x = 5$

Schritt 4 — Kontrolle am Definitionsbereich: $5 \in D$. ✓ Die Lösung ist $L = \{5\}$.

Warum Schritt 4 kein Ritual ist

Beispiel: $\dfrac{x}{x-2} = \dfrac{2}{x-2}$

Definitionsbereich: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Multiplizieren mit $(x-2)$ liefert $x = 2$.

Aber halt: $2 \notin D$! Beim Einsetzen von $x=2$ stünde links und rechts eine Division durch null. Die Gleichung hat keine Lösung: $L = \{\ \}$.

Das Wegmultiplizieren der Nenner kann solche Scheinlösungen erzeugen. Deshalb gehört die Kontrolle am Definitionsbereich zu jeder Bruchgleichung dazu — sie entscheidet manchmal über das Resultat.

Kurz geprüft

Anwendung: Wer arbeitet wie schnell?

Bruchgleichungen tauchen bei «gemeinsame Arbeit»-Aufgaben ganz natürlich auf:

Eine grosse Pumpe füllt ein Becken allein in 3 Stunden, eine kleine allein in $x$ Stunden. Zusammen schaffen sie es in 2 Stunden. Wie lange bräuchte die kleine Pumpe allein?

Pro Stunde füllt die grosse Pumpe $\frac{1}{3}$ des Beckens, die kleine $\frac{1}{x}$, zusammen $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

Multiplizieren mit $6x$: $\ 2x + 6 = 3x$, also $x = 6$. Die kleine Pumpe bräuchte allein 6 Stunden.

Aufgaben

Löse mit vollständigem Vorgehen (Definitionsbereich, Umformen, Kontrolle):$\text{a)}\ \frac{8}{x} = 4 \qquad \text{b)}\ \frac{3}{x+2} = \frac{5}{x-2} \qquad \text{c)}\ \frac{x+1}{x-3} = \frac{4}{x-3} \qquad \text{d)}\ \frac{1}{4} + \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$