Bruchgleichungen mit Parametern

Manchmal stehen in einer Gleichung neben der Variablen $x$ noch weitere Buchstaben, zum Beispiel $a$, $c$ oder $g$. Solche Buchstaben heissen Parameter. Ein Parameter steht für eine feste Zahl, die wir bloss nicht kennen. Wir rechnen mit ihm also genau so, wie wir mit einer Zahl rechnen würden.

Das Resultat ist dann keine Zahl, sondern ein Term mit dem Parameter: «$x$ ist gleich …».

Durch Terme nur dividieren, wenn sie nicht null sind

Beim Auflösen dividiert man oft durch einen Term mit Parameter, z.B. durch $(1-c)$. Das ist nur erlaubt, wenn dieser Term nicht null ist. Die Werte des Parameters, für die er null wird, heissen Sonderfälle und müssen extra untersucht werden.

Beispiel

Beispiel

Lösen Sie nach $x$ auf:

$$\frac{x+1}{x+c}=c$$

Versuchen Sie es zuerst selbst:

Aufgabe 1

Nach x auflösen

Lösen Sie die Gleichung ohne Berücksichtigung von Sonderfällen nach $x$ auf. Die Definitionsmenge müssen Sie hier nicht angeben.

a) $x+2=\dfrac{a}{a-b}$   b) $\dfrac{s}{s+1}=\dfrac{s}{s-1}+x$   c) $6x=2x+\dfrac{12}{u}+\dfrac{8}{v}$

Aufgabe 2

Doppelbrüche

Lösen Sie die Gleichung ohne Berücksichtigung von Sonderfällen nach $x$ auf. Die Definitionsmenge müssen Sie hier nicht angeben.

a) $\dfrac{x+g^2}{\ x+\frac{x}{g}\ }=1$   b) $\dfrac{1}{\ \frac{x}{u}+\frac{x}{v}\ }=2uv$

Tipp: Schreiben Sie den Nenner $x+\frac{x}{g}$ zuerst als einen Bruch.

Aufgabe 3

Zusatzaufgabe

Lösen Sie die Gleichung nach $x$ auf.

a) $\dfrac{x+1}{x+2c}=2c$   b) $\dfrac{s-3}{x-s}+\dfrac{2}{x}=0$

c) Untersuchen Sie die Sonderfälle von a) und b): Für welche Werte des Parameters funktioniert Ihre Lösung nicht, und was ist dann die Lösungsmenge? Prüfen Sie dabei auch, für welche Parameterwerte die gefundene Lösung selbst nicht in $D$ liegt.