Bruchterme und Definitionsbereich

Lernziele

Du erkennst, was ein Bruchterm ist.

Du kannst den Definitionsbereich eines Bruchterms bestimmen.

Du kannst Bruchterme kürzen — und weisst, wann Kürzen verboten ist.

Was ist ein Bruchterm?

Ein Bruchterm ist ein Bruch, in dessen Nenner eine Variable vorkommt:

$\frac{3}{x}, \qquad \frac{x+2}{x-5}, \qquad \frac{a^2-9}{a+3}$

Mit Zahlenbrüchen wie $\frac{3}{4}$ kannst du schon lange rechnen. Die gute Nachricht: Alle Regeln bleiben genau gleich. Kürzen, erweitern, gleichnamig machen — alles funktioniert wie bisher. Neu ist nur eine einzige Sache: Wir müssen aufpassen, dass der Nenner nicht null wird.

Der Definitionsbereich

Durch null teilen geht nicht. Beim Zahlenbruch $\frac{3}{4}$ ist das kein Thema. Aber bei $\frac{3}{x}$ hängt der Nenner von $x$ ab: Für $x = 0$ steht da $\frac{3}{0}$ — verboten.

Die Menge aller erlaubten Werte heisst Definitionsbereich $D$ . Man findet ihn, indem man fragt: Für welche Werte wird der Nenner null? Diese Werte werden ausgeschlossen.

Beispiel: $\dfrac{x+2}{x-5}$

Der Nenner $x - 5$ wird null für $x = 5$ . Also: $D = \mathbb{R} \setminus \{5\}$ .

Beispiel mit zwei Ausschlüssen: $\dfrac{7}{x(x+3)}$

Der Nenner ist ein Produkt. Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist: $x = 0$ oder $x = -3$ . Also: $D = \mathbb{R} \setminus \{0; -3\}$ .

Kurz geprüft

Kürzen

Kürzen heisst: Zähler und Nenner durch denselben Faktor teilen. Bei Bruchtermen muss man deshalb zuerst faktorisieren — also Zähler und Nenner als Produkt schreiben. Die Werkzeuge dafür kennst du: Ausklammern und die binomischen Formeln.

Beispiel 1 — Ausklammern:

$\frac{3x + 6}{x^2 + 2x} = \frac{3(x+2)}{x(x+2)} = \frac{3}{x}$

Beispiel 2 — dritte binomische Formel:

$\frac{a^2 - 9}{a + 3} = \frac{(a-3)(a+3)}{a+3} = a - 3$

Der Klassiker unter den Fehlern

Gekürzt werden dürfen nur Faktoren, niemals Summanden: $\frac{x + 3}{x} \ne 3 \qquad \text{(das } x \text{ ist Summand im Zähler, nicht Faktor!)}$ Merksatz: Aus Summen kürzen nur die Dummen. Wer unsicher ist, setzt eine Zahl ein: Für $x=1$ ist $\frac{1+3}{1} = 4 \ne 3$ .

Aufgaben

Bestimme jeweils den Definitionsbereich und kürze so weit wie möglich: $\text{a)}\ \frac{5x}{10x^2} \qquad \text{b)}\ \frac{4a + 8}{a^2 - 4} \qquad \text{c)}\ \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3} \qquad \text{d)}\ \frac{2b^2 - 2}{b + 1}$

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Merke

Zuerst den Definitionsbereich bestimmen — am ursprünglichen Term, vor dem Kürzen.

Faktorisieren (ausklammern, binomische Formeln).

Nur gemeinsame Faktoren kürzen.