Polynomdivision

Lernziele

• Die Polynomdivision als Verallgemeinerung der schriftlichen Division erkennen
• Dividend und Divisor ordnen und fehlende Potenzen als Lücken berücksichtigen
• Eine Polynomdivision mit Rest korrekt notieren
• Ein Polynom mit einem bekannten Faktor vollständig in Linearfaktoren zerlegen
• Bruchterme mithilfe der Polynomdivision kürzen

Das Verfahren

Die Polynomdivision läuft genau wie die schriftliche Division von Zahlen. Den Zehnerpotenzen bei den Zahlen entsprechen die Potenzen von $x$. Der Ablauf wiederholt sich immer gleich:

1. Dividieren: das höchste Glied des Dividenden durch das höchste Glied des Divisors.
2. Zurückrechnen: das Ergebnis mit dem ganzen Divisor multiplizieren.
3. Subtrahieren: den neuen Rest bilden. Achtung, die Klammer kehrt alle Vorzeichen um.
4. Von vorne, bis nichts mehr übrig ist.

Beispiel: $(x^3+6x^2+3x-10):(x+5)$

$x^3 : x = x^2$, dann $x^2 : x = x$, dann $-2x : x = -2$:

$$\begin{array}{l} (x^3+6x^2+3x-10):(x+5) \;=\; x^2+x-2 \\[4pt] \underline{-(x^3+5x^2)} \\[4pt] \phantom{-(x^3+{}}{x^2+3x-10} \\[4pt] \phantom{-(x^3+{}}\underline{-(x^2+5x)} \\[4pt] \phantom{-(x^3+{}-(x^2+{}}{-2x-10} \\[4pt] \phantom{-(x^3+{}-(x^2+{}}\underline{-(-2x-10)} \\[4pt] \phantom{-(x^3+{}-(x^2+{}-(-2x-{}}{0} \end{array}$$

Probe: $(x+5)(x^2+x-2)=x^3+x^2-2x+5x^2+5x-10=x^3+6x^2+3x-10$ ✓

Lücken lassen!

Ordnen Sie Dividend und Divisor zuerst nach fallenden Exponenten. Fehlt eine Potenz, lassen Sie an ihrer Stelle eine Lücke oder schreiben Sie sie mit dem Koeffizienten $0$ hin:

$x^4-1 = x^4+0x^3+0x^2+0x-1$

Wer die Lücke vergisst, verschiebt beim Zurückrechnen alle Spalten und rechnet falsch weiter.

Aufgabe 1 (Skript 4.2.1)

Polynomdivision

Führen Sie die Polynomdivision aus.

a) $(x^5+x^3-x^2-1):(x^2+x+1)$   b) $(m^6-1):(m+1)$

c) $(9p^4-31p^2+25):(3p^2+p-5)$   d) $(x^4-1):(x^3+x^2+x+1)$

Aufgabe 2 (Skript 4.2.2)

Polynomdivision

Führen Sie die Polynomdivision aus.

a) $(x^4-10x^3+26x^2+x-36):(x-4)$   b) $(2x^5+6x^4-3x^2-8x+3):(x+3)$

Tipp zu b)

Im Dividenden fehlt $x^3$. Schreiben Sie $+0x^3$ hin oder lassen Sie eine Lücke.

Zusatzaufgabe (Skript 4.2.3)

Zusatzaufgabe

Führen Sie die Polynomdivision aus. Achten Sie bei b) zuerst auf die Reihenfolge der Glieder.

a) $(6x^3-14x^2+17x-12):(3x-4)$   b) $(-6+n^4+5n):(2+n)$

Polynomdivision mit Rest

Nicht jede Division geht auf. Das Verfahren bricht ab, sobald der höchste Exponent des Rests kleiner ist als der des Divisors. Der Rest wird dann durch den Divisor geteilt und als Bruch angehängt, genau wie bei $17:5=3+\frac{2}{5}$.

Beispiel: $(4x^3+2x^2+6x-12):(2x+5)$

$$\begin{array}{l} (4x^3+2x^2+6x-12):(2x+5) \;=\; 2x^2-4x+13-\dfrac{77}{2x+5} \\[4pt] \underline{-(4x^3+10x^2)} \\[4pt] \phantom{-(4x^3+{}}{-8x^2+6x-12} \\[4pt] \phantom{-(4x^3+{}}\underline{-(-8x^2-20x)} \\[4pt] \phantom{-(4x^3+{}-(-8x^2-{}}{26x-12} \\[4pt] \phantom{-(4x^3+{}-(-8x^2-{}}\underline{-(26x+65)} \\[4pt] \phantom{-(4x^3+{}-(-8x^2-{}-(26x+{}}{-77} \end{array}$$

$-77$ enthält kein $x$ mehr, also ist Schluss. Der Rest $-77$ wird durch den Divisor geteilt und als Bruch angehängt.

Aufgabe 3 (Skript 4.4.1)

Polynomdivision mit Rest

Führen Sie die Polynomdivision mit Rest aus.

a) $(6a^3-17a^2+21a-30):(2a-5)$   b) $(6z^4+8z^3-19z^2-7z-12):(3z^2-2z-4)$

Tipp zu b)

Der Divisor hat den Grad 2. Sie hören also auf, sobald der Rest nur noch den Grad 1 hat. Der Rest ist hier keine reine Zahl.

Aufgabe 4 (Skript 4.4.2)

In Linearfaktoren zerlegen

Oft lässt sich ein Polynom mithilfe einer Polynomdivision in Faktoren zerlegen. Vom Polynom $p$ ist der Faktor $d$ bekannt. Zerlegen Sie $p$ vollständig in lineare Faktoren.

a) $p=x^3-4x^2+x+6$;   $d=x-2$   b) $p=a^3-3a^2+4$;   $d=a+1$

c) $p=n^4-7n^2+6n$;   $d=n-1$   d) $p=x^4+4x^3-9x^2-16x+20$;   $d=x^2-4$

Tipp

Dividieren Sie $p$ durch $d$. Dann gilt $p=d\cdot(\text{Resultat})$. Das Resultat zerlegen Sie mit den bekannten Methoden weiter (ausklammern, binomische Formeln, Zweiklammeransatz).

Aufgabe 5 (Skript 4.4.3)

Kürzen mit Polynomdivision

Kürzen Sie mittels Polynomdivision.

a) $\dfrac{x^3-1}{x-1}$   b) $\dfrac{2x^4-x^2-6}{x^2-2}$   c) $\dfrac{x^5-y^5}{x-y}$

Tipp zu c)

Dividieren Sie nach $x$ und behandeln Sie $y$ wie eine Zahl. Lücken: $x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x-y^5$.