Du kannst Bruchterme multiplizieren und dividieren.
Du kannst Bruchterme addieren und subtrahieren, auch mit verschiedenen Nennern.
Alle vier Grundoperationen funktionieren genau wie bei Zahlenbrüchen. Wir gehen sie der Reihe nach durch — multiplizieren zuerst, weil es das einfachste ist.
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Und wie bei Zahlenbrüchen gilt: vor dem Ausmultiplizieren kürzen , das spart viel Arbeit.
2 x x + 1 ⋅ x + 1 6 = 2 x ⋅ ( x + 1 ) ( x + 1 ) ⋅ 6 = 2 x 6 = x 3 \frac{2x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{6} = \frac{2x \cdot (x+1)}{(x+1) \cdot 6} = \frac{2x}{6} = \frac{x}{3} x + 1 2 x ⋅ 6 x + 1 = ( x + 1 ) ⋅ 6 2 x ⋅ ( x + 1 ) = 6 2 x = 3 x
Mit dem Kehrwert multiplizieren — wie immer:
a a + 2 : 3 a a + 2 = a a + 2 ⋅ a + 2 3 a = 1 3 \frac{a}{a+2} : \frac{3a}{a+2} = \frac{a}{a+2} \cdot \frac{a+2}{3a} = \frac{1}{3} a + 2 a : a + 2 3 a = a + 2 a ⋅ 3 a a + 2 = 3 1
Doppelbrüche sind nichts anderes als versteckte Divisionen:
x 2 x 4 = x 2 : x 4 = x 2 ⋅ 4 x = 2 \frac{\ \frac{x}{2}\ }{\ \frac{x}{4}\ } = \frac{x}{2} : \frac{x}{4} = \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{x} = 2 4 x 2 x = 2 x : 4 x = 2 x ⋅ x 4 = 2
Hier braucht es den bekannten Zwischenschritt: gleichnamig machen . Der gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner.
Beispiel:
3 x + 2 x 2 \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} x 3 + x 2 2
Das kgV von x x x x 2 x^2 x 2 x 2 x^2 x 2 x x x
3 x + 2 x 2 = 3 x x 2 + 2 x 2 = 3 x + 2 x 2 \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = \frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = \frac{3x + 2}{x^2} x 3 + x 2 2 = x 2 3 x + x 2 2 = x 2 3 x + 2
Beispiel mit faktorisierten Nennern:
1 x − 2 + 3 x 2 − 4 \frac{1}{x-2} + \frac{3}{x^2-4} x − 2 1 + x 2 − 4 3
Zuerst den zweiten Nenner faktorisieren: x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x^2 - 4 = (x-2)(x+2) x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) (x-2)(x+2) ( x − 2 ) ( x + 2 )
1 ⋅ ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) + 3 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = x + 2 + 3 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = x + 5 ( x − 2 ) ( x + 2 ) \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{3}{(x-2)(x+2)} = \frac{x + 2 + 3}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+5}{(x-2)(x+2)} ( x − 2 ) ( x + 2 ) 1 ⋅ ( x + 2 ) + ( x − 2 ) ( x + 2 ) 3 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x + 2 + 3 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x + 5
Achtung beim Subtrahieren Das Minus gilt für den ganzen Zähler des zweiten Bruchs. Klammern setzen!5 x x + 1 − x − 3 x + 1 = 5 x − ( x − 3 ) x + 1 = 5 x − x + 3 x + 1 = 4 x + 3 x + 1 \frac{5x}{x+1} - \frac{x - 3}{x+1} = \frac{5x - (x-3)}{x+1} = \frac{5x - x + 3}{x+1} = \frac{4x+3}{x+1} x + 1 5 x − x + 1 x − 3 = x + 1 5 x − ( x − 3 ) = x + 1 5 x − x + 3 = x + 1 4 x + 3 5 x − x − 3 5x - x - 3 5 x − x − 3
Berechne und vereinfache so weit wie möglich (Definitionsbereich jeweils stillschweigend vorausgesetzt):a) x 3 ⋅ 9 x 2 b) a + 1 5 : a + 1 10 c) 2 x + 5 3 x d) x x − 1 − 2 x + 1 x 2 − 1 \text{a)}\ \frac{x}{3} \cdot \frac{9}{x^2} \qquad \text{b)}\ \frac{a+1}{5} : \frac{a+1}{10} \qquad \text{c)}\ \frac{2}{x} + \frac{5}{3x} \qquad \text{d)}\ \frac{x}{x-1} - \frac{2x+1}{x^2-1} a) 3 x ⋅ x 2 9 b) 5 a + 1 : 10 a + 1 c) x 2 + 3 x 5 d) x − 1 x − x 2 − 1 2 x + 1