Textaufgaben

Bei einer Textaufgabe steht die Gleichung nicht schon da – Sie müssen sie zuerst aus dem Text bauen. Das gelingt in vier Schritten:

Vom Text zur Bruchgleichung

1. Variable festlegen: Was ist gesucht? Geben Sie ihm einen Namen, z.B. $n$, und schreiben Sie in Worten auf, wofür $n$ steht.

2. Ansatz: Übersetzen Sie den Text Satz für Satz in Terme mit $n$. Am Schluss steht eine Gleichung.

3. Lösen: Wie gewohnt: $D$ bestimmen, nennerfrei machen, auflösen.

4. Am Text prüfen: Setzen Sie das Resultat in den Text ein, nicht nur in die Gleichung. So merken Sie, ob schon der Ansatz falsch war – und ob das Resultat überhaupt sinnvoll ist (z.B. kein negativer Preis).

Beispiel

Beispiel

Addiert man zum Zähler und zum Nenner des Bruchs $\dfrac{2}{7}$ dieselbe natürliche Zahl, so erhält man $\dfrac{2}{3}$. Welche Zahl ist es?

Versuchen Sie es zuerst selbst:

Aufgabe 1

Ein seltsamer Bruch

Der Nenner eines ungekürzten Bruches ist um $5$ grösser als der Zähler. Der Wert des Bruches ist $1{,}5$. Wie lautet der ungekürzte Bruch?

Aufgabe 2

Kehrwert

Der Nenner eines ungekürzten Bruches ist um $60$ grösser als der Zähler. Addiert man $300$ zum Zähler, so erhält man einen Bruch, dessen Wert der Kehrwert des ursprünglichen Bruches ist. Wie lautet der ungekürzte Bruch?

Aufgabe 3

Lenas Verwechslung

Lena verwechselt das Dividieren mit dem Addieren: Anstatt $x$ durch $a$ zu dividieren, addiert sie $a$ zu $x$. Trotzdem erhält sie das richtige Resultat. Bestimmen Sie $x$ für

a) $a=2$   b) $a=3$   c) $a=-2$   d) allgemein.

Aufgabe 4

Notendurchschnitt

Das gewichtete Mittel $m$ von $n$ Werten $x_1,x_2,\ldots,x_n$ mit den Gewichten $g_1,g_2,\ldots,g_n$ wird so berechnet:

$$m=\frac{g_1x_1+g_2x_2+\ldots+g_nx_n}{g_1+g_2+\ldots+g_n}$$

An Noahs Gymnasium werden ganze und halbe Noten zwischen $1$ und $6$ gesetzt. Noah hat drei ganzzählende Prüfungsnoten (Gewicht $1$) $4{,}5$; $5$; $4$ und zwei halbzählende Vortragsnoten (Gewicht $\frac12$) $5{,}5$ und $4$.

a) Berechnen Sie Noahs aktuellen Notendurchschnitt.

b) Es folgt noch eine ganzzählende Prüfung. Welche Note bräuchte Noah für einen Durchschnitt von $5$? Welche Note muss er mindestens erreichen, damit sein Durchschnitt nicht unter $4{,}5$ fällt?

Aufgabe 5

Schneeräumung

Ein Schneepflug räumt eine Passstrasse allein in $10$ Stunden. Hilft eine Schneefräse mit, so ist die Strasse in $6$ Stunden geräumt. Wie lange würde die Schneefräse allein brauchen?

Tipp

Welcher Bruchteil der Strasse wird in einer Stunde geräumt? Vom Schneepflug allein, von der Fräse allein, von beiden zusammen?

Aufgabe 6

Käse vom Markt

Ein Kilogramm Gruyère kostet $6$ Franken mehr als ein Kilogramm Emmentaler. Für $144$ Franken erhält man vom Emmentaler $3$ kg mehr, als man vom Gruyère für $120$ Franken erhält. Berechnen Sie den Kilopreis des Gruyère.

Hinweis: Es entsteht eine quadratische Gleichung. Zerlegen Sie sie in Faktoren.