Übungen Bruchgleichungen

Lösen Sie alle Aufgaben mit den drei Schritten:

Bruchgleichungen lösen

1. $D$ bestimmen: Alle Nenner gleich null setzen. Diese Zahlen sind verboten.

2. Nennerfrei machen: Beide Seiten mit dem gemeinsamen Nenner multiplizieren, kürzen und die entstandene Gleichung lösen.

3. Prüfen: Jede gefundene Zahl mit $D$ vergleichen. Zahlen ausserhalb von $D$ sind Scheinlösungen und fallen weg.

Tipp

Zerlegen Sie zusammengesetzte Nenner zuerst in Faktoren, z.B. $x^2-9=(x-3)(x+3)$ oder $4-2x=-2(x-2)$. Beim zweiten Beispiel wird $-2$ ausgeklammert: So steht in der Klammer derselbe Term $x-2$ wie in anderen Nennern. Dann sehen Sie sofort, welche Zahlen verboten sind und wie der gemeinsame Nenner aussieht.

Aufgabe 1

Ein Bruch auf jeder Seite

Lösen Sie die Bruchgleichung. Geben Sie jeweils auch die Definitionsmenge an.

a) $\dfrac{2}{x}=\dfrac{7}{x-5}$   b) $\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{4}{x+1}$   c) $\dfrac{x-4}{x}=\dfrac{x}{x+8}$

Aufgabe 2

Nenner zuerst zerlegen

Lösen Sie die Bruchgleichung. Geben Sie jeweils auch die Definitionsmenge an.

a) $\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{x+6}{4-2x}$   b) $\dfrac{6}{2x+5}=\dfrac{x+5}{2x^2+5x}$   c) $\dfrac{x-3}{x^2-2x}=\dfrac{x}{x^2-4}$

Aufgabe 3

Summen und Differenzen

Lösen Sie die Bruchgleichung. Geben Sie jeweils auch die Definitionsmenge an.

a) $\dfrac{4}{x-3}-\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{2x+18}{x^2-9}$   b) $\dfrac{3}{n-2}-\dfrac{1}{n-6}=\dfrac{5n-4}{n^2-8n+12}$

c) $\dfrac{x+3}{x-1}-\dfrac{x+1}{x-3}=\dfrac{2x-10}{x^2-4x+3}$   d) $\dfrac{2k+12}{5k-2}+\dfrac{3k^2}{5k^2-2k}=\dfrac{k+2}{k}$

Tipp, falls am Schluss eine wahre Aussage wie $0=0$ steht

Dann erfüllt jede Zahl aus $D$ die Gleichung. Die Gleichung heisst allgemeingültig, und es gilt $L=D$.

Aufgabe 4

Mit einer ganzen Zahl in der Gleichung

Lösen Sie die Bruchgleichung. Geben Sie jeweils auch die Definitionsmenge an.

a) $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{3}{x-1}$   b) $\dfrac{2}{p}+\dfrac{3p+5}{p+2}=3$

c) $\dfrac{1}{w-3}+\dfrac{2w+6}{w+4}=2$   d) $\dfrac{x+2}{x}-\dfrac{x}{x-6}=\dfrac{7}{6-x}$

Aufgabe 5

Selbst erfinden

Geben Sie je zwei verschiedene Bruchgleichungen an, die die folgende Definitionsmenge haben. Es kommt nur auf die Nenner an: Sie müssen zusammen genau an den genannten Stellen null werden. Ob die Gleichung eine Lösung hat, spielt keine Rolle.

a) $D=\mathbb{R}\setminus\{-2;\ 0\}$   b) $D=\mathbb{R}\setminus\{2;\ 5\}$   c) $D=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$

Aufgabe 6

Zusatzaufgabe

Lösen Sie die Bruchgleichung. Geben Sie jeweils auch die Definitionsmenge an.

a) $\dfrac{2x-1}{2x}-\dfrac{4x-1}{4x}+\dfrac{1}{x+2}=0$   b) $\dfrac{x-2}{x-3}+\dfrac{x-9}{2x-6}+\dfrac{x-8}{3x-9}=0$

c) $\dfrac{x-1}{3x^2+5x-2}-\dfrac{1}{6x-2}=0$   d) $\dfrac{2r+9}{r^2+3r}-\dfrac{4}{r+3}=\dfrac{1}{2r}$