Exponentialfunktionen & Wachstum

Bei einer Potenzfunktion wie $x^2$ steht die Variable in der Basis. Bei einer Exponentialfunktion steht sie im Exponenten: $f(x) = a^x$. Dieser kleine Wechsel beschreibt fast alles, was sich pro Zeitschritt vervielfacht — Zinsen, Populationen, radioaktiver Zerfall.

Die Exponentialfunktion

$f(x) = a^x \quad (a > 0,\ a \neq 1)$

• $a > 1$: Wachstum — die Kurve steigt immer schneller.
• $0 < a < 1$: Zerfall — die Kurve fällt gegen null, ohne sie je zu erreichen.
• Für jedes $a$ gilt $a^0 = 1$: alle Kurven gehen durch $(0 \mid 1)$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 3, 400)
plt.plot(x, 2.0**x, label='y = 2^x  (Wachstum)')
plt.plot(x, np.exp(x), label='y = e^x')
plt.plot(x, 0.5**x, label='y = (1/2)^x  (Zerfall)')
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.6)
plt.legend(); plt.grid(True, alpha=0.3); plt.ylim(0, 8)
plt.title('Exponentielles Wachstum und Zerfall')
plt.show()

Der klassische Fall: Zinseszins

Legst du ein Kapital $K_0$ zu einem Zinssatz $p$ (als Dezimalzahl) an, wächst es pro Jahr um den Faktor $(1 + p)$. Nach $n$ Jahren:

$K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n$

Musterbeispiel. 1'000 Fr. zu 3 %: nach $n$ Jahren $1000 \cdot 1.03^{\,n}$. Nach 10 Jahren also $1000 \cdot 1.03^{10} \approx 1'343.92$ Fr. Das Entscheidende: der Zuwachs wächst mit, weil auch die früheren Zinsen wieder verzinst werden.

Die eulersche Zahl $e$

Unter allen Basen ist eine besonders natürlich: $e \approx 2.718$. Sie ist die Basis, bei der die Funktion $e^x$ an jeder Stelle gleich steil wie hoch ist — der Grund, warum $e^x$ in jedem Wachstums- und Zerfallsmodell auftaucht (mehr dazu in [[Ableitung]] und bei den Grenzwerten).

Übung 1

a) Ein Kapital von 2'000 Fr. wird zu 4 % verzinst. Wie viel ist nach 5 Jahren da? (Runde auf Rappen.)

b) Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde und startet mit 500 Bakterien. Wie viele sind es nach 4 Stunden?

c) Ein radioaktiver Stoff hat die Eigenschaft, dass nach jeder Halbwertszeit die Hälfte übrig bleibt. Welcher Anteil ist nach 3 Halbwertszeiten noch da?

Das nimmst du mit

• Exponentialfunktion: Variable im Exponenten, $f(x) = a^x$.
• $a > 1$ wächst, $0 < a < 1$ zerfällt; alle gehen durch $(0 \mid 1)$.
• Zinseszins: $K_n = K_0 (1+p)^n$ — der Wachstumsfaktor ist $1 + p$, nicht $p$.