Lineare Gleichungssysteme

Zwei Bedingungen, zwei Unbekannte. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) fragt: welches Zahlenpaar $(x \mid y)$ erfüllt beide Gleichungen gleichzeitig? Geometrisch ist jede Gleichung eine Gerade — und die Lösung ist ihr Schnittpunkt.

Drei Verfahren, ein Ziel

Alle drei eliminieren eine Variable; nimm das, was am wenigsten Bruchrechnen macht.

Wir lösen als Beispiel: $\text{(I)}\quad 2x + y = 7 \qquad\qquad \text{(II)}\quad x - y = 2$

Additionsverfahren. Die Gleichungen so addieren, dass eine Variable wegfällt. Hier hebt sich $y$ direkt: $(I) + (II)$ gibt $3x = 9$, also $x = 3$. Einsetzen in (II): $3 - y = 2 \Rightarrow y = 1$.

Einsetzverfahren. Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und einsetzen. Aus (II): $x = y + 2$. In (I): $2(y+2) + y = 7 \Rightarrow 3y + 4 = 7 \Rightarrow y = 1$, dann $x = 3$.

Gleichsetzverfahren. Beide nach derselben Variablen auflösen und gleichsetzen. Aus (I) $y = 7 - 2x$, aus (II) $y = x - 2$, also $7 - 2x = x - 2 \Rightarrow x = 3$.

Alle drei liefern denselben Schnittpunkt $(3 \mid 1)$ — genau dort kreuzen sich die beiden Geraden:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 5, 400)
plt.plot(x, 7 - 2*x, label='(I)  2x + y = 7')
plt.plot(x, x - 2, label='(II)  x - y = 2')
plt.plot(3, 1, 'ko'); plt.annotate('(3 | 1)', (3, 1), xytext=(8, 8), textcoords='offset points')
plt.legend(); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title('Die Lösung ist der Schnittpunkt')
plt.show()

Wenn es keine oder unendlich viele Lösungen gibt

Zwei Geraden müssen sich nicht schneiden:

• Parallel (gleiche Steigung, verschiedener Achsenabschnitt) → keine Lösung. Beim Rechnen entsteht ein Widerspruch wie $0 = 9$.
• Identisch (dieselbe Gerade) → unendlich viele Lösungen. Beim Rechnen entsteht eine wahre Aussage wie $0 = 0$.

Eine falsche Zahlenaussage am Ende ist also kein Rechenfehler, sondern die Antwort selbst.

Übung 1

Löse mit einem Verfahren deiner Wahl:

a) $\;x + 2y = 8 \;;\quad 3x - y = 3$

b) $\;4x - 3y = 5 \;;\quad 2x + y = 5$

c) $\;2x - y = 4 \;;\quad -4x + 2y = 1$

Das nimmst du mit

• Lösung eines LGS = Schnittpunkt der Geraden.
• Einsetzen / Gleichsetzen / Addition — wähle das mit dem wenigsten Bruchrechnen.
• Widerspruch ($0=9$) = keine Lösung; wahre Aussage ($0=0$) = unendlich viele.