Logarithmen & Logarithmusgesetze

Der Logarithmus beantwortet die Umkehrfrage zur Exponentialfunktion: «Zu welchem Exponenten muss ich die Basis erheben, um eine bestimmte Zahl zu bekommen?» Wenn $2^x = 8$, dann ist $x = \log_2 8 = 3$. Kurz:

$\log_a b = c \quad\Longleftrightarrow\quad a^c = b \qquad (a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0)$

Der Logarithmus ist also der gesuchte Exponent. Daraus folgt sofort, warum sich Exponential und Logarithmus gegenseitig aufheben: $\log_a(a^x) = x$ (welcher Exponent macht aus $a$ die Zahl $a^x$? Eben $x$) und $a^{\log_a x} = x$. Grafisch heisst «Umkehrung»: die beiden Kurven sind Spiegelbilder an der Geraden $y = x$ — vertauscht man $x$ und $y$, wird aus der einen die andere.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2.5, 400)
xp = np.linspace(0.05, 8, 400)
plt.plot(x, np.exp(x), label='y = e^x')
plt.plot(xp, np.log(xp), label='y = ln x')
plt.plot(x, x, '--', color='gray', lw=0.8, label='y = x')
plt.legend(); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.axis('equal'); plt.xlim(-2, 8); plt.ylim(-2, 8)
plt.title('ln ist die Umkehrung von e^x (Spiegelung an y = x)')
plt.show()

Zwei Basen haben eigene Namen: der Zehnerlogarithmus $\log_{10}$ (auf dem Taschenrechner meist log) und der natürliche Logarithmus $\ln = \log_e$.

Warum die Logarithmusgesetze gelten

Sie sind die Potenzgesetze in Spiegelschrift. Nimm das erste: Weil $\log$ ein Exponent ist und beim Multiplizieren von Potenzen die Exponenten addiert werden ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), muss der Logarithmus eines Produkts die Summe der Logarithmen sein:

$\log(x \cdot y) = \log x + \log y \qquad \log\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log x - \log y \qquad \log(x^r) = r \cdot \log x$

Aus demselben Grund wird beim Dividieren subtrahiert und beim Potenzieren ($x^r$) mit $r$ multipliziert — das Potenzieren ist ja wiederholtes Multiplizieren. Diese Verwandlung von Mal in Plus ist genau das, was wir brauchen, um die Unbekannte aus dem Exponenten zu holen (nächste Seite).

Basiswechsel. Dein Taschenrechner kennt nur log und ln? Jeder Logarithmus lässt sich umrechnen:

$\log_a b = \frac{\log b}{\log a} = \frac{\ln b}{\ln a}$

Musterbeispiel. $\log_2 10 = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{0.3010} \approx 3.32$.

Übung 1

a) Bestimme ohne Taschenrechner: $\;\log_2 16, \quad \log_3 1, \quad \log_{10} 1000, \quad \log_5 \tfrac{1}{5}$

b) Fasse zu einer Zahl zusammen: $\;\log_2 48 - \log_2 3$

c) Berechne mit Basiswechsel (auf zwei Nachkommastellen): $\;\log_5 20$

Das nimmst du mit

• $\log_a b$ ist der Exponent, mit dem $a$ zu $b$ wird — die Umkehrung von $a^x$.
• Die Log-Gesetze sind die Potenzgesetze gespiegelt: Mal $\to$ Plus, weil $\log$ ein Exponent ist.
• Basiswechsel: $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$.