Bestimmtes Integral & Hauptsatz

Das Problem: Fläche unter einer Kurve

Die Fläche eines Rechtecks ist Länge mal Breite. Aber wie gross ist die Fläche unter einer krummen Kurve, zwischen $x = a$ und $x = b$? Dafür gibt es keine fertige Formel — also nähern wir uns.

Zerlege den Bereich in schmale Streifen und ersetze jeden durch ein Rechteck. Die Summe ihrer Flächen ist eine Näherung. Je schmaler die Streifen, desto weniger «Fehler» an den krummen Rändern — und im Grenzwert unendlich vieler, unendlich dünner Streifen wird die Näherung exakt. Dieser Grenzwert ist das bestimmte Integral:

$\int_a^b f(x)\,dx = \text{Fläche zwischen Kurve und } x\text{-Achse von } a \text{ bis } b$

Wieder ist es also im Kern ein Grenzwert (siehe [[Grenzwerte]]) — dieselbe Idee wie bei der Ableitung, nur summierend statt teilend.

Warum die Stammfunktion die Fläche liefert

Hier kommt die verblüffende Verbindung. Betrachte die Flächenfunktion $A(x)$: die Fläche von $a$ bis zu einer variablen Grenze $x$. Wächst $x$ um ein winziges Stück $dx$, kommt ein schmaler Streifen der Höhe $f(x)$ und Breite $dx$ hinzu, also $\Delta A \approx f(x)\,dx$. Das heisst:

$A'(x) = f(x)$

Die Flächenfunktion ist also selbst eine Stammfunktion von $f$! Deshalb genügt es, irgendeine Stammfunktion $F$ zu nehmen — das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[\,F(x)\,\Big]_a^b$

Das ist der Grund, warum die ganze Flächenrechnung auf das Rückwärts-Ableiten hinausläuft. Das «$+C$» fällt dabei weg, weil es sich in $F(b) - F(a)$ heraushebt.

Musterbeispiel. $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-0.3, 2.3, 400)
plt.plot(x, x**2, 'C0')
xf = np.linspace(0, 2, 200)
plt.fill_between(xf, xf**2, alpha=0.3, color='C0')
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.6)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title(r'$\int_0^2 x^2\,dx = 8/3$  (die eingefärbte Fläche)')
plt.show()

Vorsicht: das Integral zählt mit Vorzeichen

Flächen unter der $x$-Achse zählt das Integral negativ. Das ist kein Fehler, sondern gewollt (man denke an Guthaben und Schulden). Willst du die echte Fläche, musst du dort den Betrag nehmen — in der Praxis: bei den Nullstellen aufteilen und die Beträge addieren.

Deshalb ist $\int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0$: die Funktion ist punktsymmetrisch, die negative Fläche links hebt die positive rechts exakt auf.

Übung 1

a) $\;\displaystyle\int_1^3 2x\,dx$

b) $\;\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$

c) $\;\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\,dx$ — und erkläre das Ergebnis in einem Satz.

d) Berechne die echte Fläche zwischen $f(x) = x^2 - 1$ und der $x$-Achse von $-1$ bis $1$. (Warum ist sie nicht gleich dem Integralwert?)

Das nimmst du mit

• Bestimmtes Integral = Grenzwert immer feinerer Rechtecke = Fläche.
• Hauptsatz: $\int_a^b f = F(b) - F(a)$ — weil die Flächenfunktion eine Stammfunktion ist.
• Das Integral zählt Flächen unter der Achse negativ; echte Fläche $\to$ bei Nullstellen aufteilen, Beträge addieren.