Substitution & partielle Integration

Die Grundintegrale reichen nicht weit. Die zwei wichtigsten Methoden für alles Übrige sind keine Zauberei — sie sind schlicht die Ketten- und die Produktregel rückwärts gelesen. Wer das sieht, muss sie nicht auswendig lernen, sondern kann sie herleiten.

Substitution — die Kettenregel rückwärts

Die Kettenregel sagt $\big(F(g(x))\big)' = F'(g(x)) \cdot g'(x)$. Rückwärts gelesen heisst das: Wenn im Integranden eine innere Funktion $g(x)$ und ihre Ableitung $g'(x)$ stecken, kannst du sie zusammenfassen. Man ersetzt $u = g(x)$ und $du = g'(x)\,dx$:

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

Musterbeispiel. $\displaystyle\int 2x \cos(x^2)\,dx$. Die innere Funktion ist $x^2$, und ihre Ableitung $2x$ steht als Faktor da — ideal. Mit $u = x^2$, $du = 2x\,dx$:

$\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C$

Der Sinn: Die Substitution macht die versteckte Kettenregel sichtbar und verwandelt ein kompliziertes Integral in ein Grundintegral.

Partielle Integration — die Produktregel rückwärts

Die Produktregel $(uv)' = u'v + uv'$ integrieren wir auf beiden Seiten: $uv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx$. Nach dem gesuchten Term aufgelöst:

$\int u \cdot v'\,dx = u \cdot v - \int u' \cdot v\,dx$

Der Gewinn: Man tauscht das Integral gegen ein einfacheres. Wähle $u$ so, dass es beim Ableiten simpler wird (oft ein Polynom oder $\ln x$), und $v'$ so, dass du es integrieren kannst.

Musterbeispiel. $\displaystyle\int x\,e^x\,dx$. Wähle $u = x$ (wird zu $1$) und $v' = e^x$ (bleibt $e^x$):

$\int x\,e^x\,dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$

Ein Trick zum Merken: Auch $\displaystyle\int \ln x\,dx$ geht so — mit $u = \ln x$ und $v' = 1$: $\;x \ln x - \int x \cdot \frac1x\,dx = x \ln x - x + C$.

Welche Methode?

Siehst du eine innere Funktion samt ihrer Ableitung als Faktor → Substitution. Ist es ein Produkt, bei dem ein Faktor durch Ableiten einfacher wird → partielle Integration.

Übung 1

a) $\;\displaystyle\int 3x^2 (x^3 + 1)^4\,dx$ (Substitution)

b) $\;\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx$ (Substitution)

c) $\;\displaystyle\int x \sin x\,dx$ (partiell)

d) $\;\displaystyle\int x \ln x\,dx$ (partiell)

Das nimmst du mit

• Substitution = Kettenregel rückwärts: innere Funktion $+$ ihre Ableitung erkennen, $u = g(x)$ setzen.
• Partielle Integration = Produktregel rückwärts: $\int u v' = uv - \int u' v$.
• $u$ so wählen, dass es beim Ableiten einfacher wird.