Stammfunktion & unbestimmtes Integral

Warum wir das Ableiten umkehren

In der [[Ableitung]] sind wir von einer Funktion zu ihrer Steigung gegangen. Oft brauchst du den umgekehrten Weg: Du kennst die Änderungsrate und willst die Funktion selbst zurück. Aus der Geschwindigkeit die zurückgelegte Strecke, aus der Wachstumsrate den Bestand. Genau das leistet die Stammfunktion.

Eine Stammfunktion $F$ von $f$ ist eine Funktion, deren Ableitung wieder $f$ ergibt:

$F'(x) = f(x)$

Das Integrieren ist also kein neues, fremdes Rechnen — es ist das Ableiten rückwärts gelesen. Jede Ableitungsregel, die du kennst, wird hier zu einer Integrationsregel.

Warum das «$+ C$» sein muss

Suchst du $F$ mit $F'(x) = 2x$, ist $F(x) = x^2$ eine Antwort — aber auch $x^2 + 5$ oder $x^2 - 3$. Der Grund liegt in der Ableitung selbst: eine Konstante hat die Ableitung null. Beim Ableiten geht die Information über die Konstante verloren; beim Umkehren kannst du sie nicht zurückgewinnen. Also gibt es nicht eine Stammfunktion, sondern eine ganze Familie, die sich nur um eine Konstante unterscheidet:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

Grafisch sind das lauter parallel verschobene Kurven — an jeder Stelle exakt gleich steil, also mit derselben Ableitung:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 200)
for C in [-3, -1, 1, 3]:
    plt.plot(x, x**2 + C, label=f'x² + ({C})')
plt.legend(fontsize=8); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title("Alle haben dieselbe Steigung 2x — dieselbe Ableitung")
plt.show()

Die Grundintegrale

Jede Zeile ist eine Ableitungsregel rückwärts. Etwa $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: leitet man $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ab, kürzt sich der Faktor $(n+1)$ weg und übrig bleibt $x^n$ — genau der Grund für diese Form.

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1) \qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \qquad \int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C \qquad \int \sin x\,dx = -\cos x + C$

Warum ist $\int \frac1x\,dx$ die Ausnahme mit $\ln|x|$? Weil die Potenzregel bei $n = -1$ durch $n + 1 = 0$ teilen würde — und genau diese Lücke füllt der Logarithmus, dessen Ableitung ja $\frac1x$ ist.

Linearität. Konstante Faktoren dürfen vor das Integral, Summen einzeln integriert werden (weil Ableiten dasselbe tut):

$\int (3x^2 - 4x)\,dx = x^3 - 2x^2 + C$

Kontrolle ist gratis: leite dein Ergebnis ab — kommt der Integrand heraus, stimmt es.

Übung 1

a) $\;\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$

b) $\;\displaystyle\int \left(\frac{2}{x} + e^x\right) dx$

c) $\;\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx$

d) Finde die Stammfunktion $F$ mit $F'(x) = 6x^2 - 2$ und $F(1) = 5$. (Warum brauchst du die zweite Angabe?)

Das nimmst du mit

• Integrieren ist Ableiten rückwärts — jede Ableitungsregel gilt umgekehrt.
• Das «$+C$» ist Pflicht, weil Ableiten Konstanten vernichtet.
• Eine Zusatzbedingung ($F$ an einer Stelle) legt das $C$ fest.
• Probe: Ergebnis ableiten muss den Integranden geben.