Uneigentliche Integrale

Kann ein unendlich langes Gebiet eine endliche Fläche haben?

Bisher lief das Integral von $a$ bis $b$ über ein endliches Stück. Was, wenn der Bereich nach unendlich reicht — oder die Funktion an einer Stelle gegen $\infty$ schiesst? Die verblüffende Antwort: Manchmal ist die Fläche trotzdem endlich. Ob ja oder nein, hängt davon ab, wie schnell die Funktion abklingt.

Die Idee: erst bis $N$, dann $N \to \infty$

Ein unendlicher Bereich lässt sich nicht «auf einmal» integrieren. Also integrieren wir bis zu einer endlichen Grenze $N$ und schauen, wohin das Ergebnis strebt, wenn $N$ wächst — ein Grenzwert (siehe [[Grenzwerte]]):

$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{N \to \infty} \int_a^{N} f(x)\,dx$

Ergibt der Grenzwert eine Zahl, konvergiert das Integral (endliche Fläche). Läuft er gegen $\infty$, divergiert es.

Konvergenz. $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{N \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^{N} = \lim_{N \to \infty}\left(-\frac{1}{N} + 1\right) = 1$.

Das Gebiet ist unendlich lang, die Fläche aber genau $1$ — weil $\frac{1}{x^2}$ schnell genug gegen null fällt:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(1, 12, 400)
plt.plot(x, 1/x**2, 'C0')
plt.fill_between(x, 1/x**2, alpha=0.3, color='C0')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title(r'$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = 1$: unendlich lang, endliche Fläche')
plt.show()

Divergenz. $\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{N \to \infty} \big[\ln x\big]_1^{N} = \lim_{N \to \infty} \ln N = \infty$.

Fast dieselbe Funktion — und doch divergent. Der Unterschied ist allein das Tempo des Abklingens: $\frac{1}{x}$ fällt zu langsam, um eine endliche Fläche einzuschliessen. Genau hier zahlt sich die Wachstums-Rangordnung aus der [[Grenzwerte|Grenzwert-Seite]] aus.

Der zweite Fall: Unendlichkeitsstelle

Auch wenn die Funktion am Rand gegen $\infty$ geht (senkrechte Asymptote), nähern wir uns mit einem Grenzwert. Etwa $\frac{1}{\sqrt{x}}$ bei $x = 0$:

$\int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{a \to 0} \big[2\sqrt{x}\big]_a^{1} = \lim_{a \to 0}\big(2 - 2\sqrt{a}\big) = 2$

Konvergent — obwohl die Funktion bei $0$ unbeschränkt ist.

Übung 1

a) $\;\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x^3}\,dx$

b) $\;\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\,dx$ — konvergent oder divergent, und warum?

c) $\;\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx$

d) $\;\displaystyle\int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ (Unendlichkeitsstelle bei $0$)

Das nimmst du mit

• Unendlicher Bereich oder Unendlichkeitsstelle: bis zu einer endlichen Grenze integrieren, dann Grenzwert.
• Grenzwert eine Zahl $\to$ konvergent (endliche Fläche); $\infty \to$ divergent.
• Ob endlich, entscheidet das Tempo des Abklingens ($\frac{1}{x^2}$ ja, $\frac{1}{x}$ nein).