Grenzwerte & Asymptoten

Zum vollständigen Bild einer Kurve gehört das Verhalten im Unendlichen: Wohin läuft die Funktion für sehr grosse (oder sehr negative) $x$? Und was tun, wenn ein Grenzwert die unbestimmte Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ annimmt?

Verhalten für $x \to \pm\infty$

Bei einem Polynom bestimmt allein der Term mit dem höchsten Grad das Fernverhalten — der Rest fällt nicht ins Gewicht:

$\lim_{x \to \infty} \big(x^3 - 100x\big) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} \big(x^3 - 100x\big) = -\infty$

Bei rationalen Funktionen entscheidet der Gradvergleich über die waagrechte oder schiefe Asymptote — genau wie auf der Seite [[Rationale Funktionen]].

Die Regel von l'Hôpital

Ergibt Einsetzen $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$, darf man Zähler und Nenner einzeln ableiten und es erneut versuchen:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad (\text{bei } \tfrac{0}{0} \text{ oder } \tfrac{\infty}{\infty})$

Musterbeispiel. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ergibt $\frac{0}{0}$. Ableiten: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$.

Manchmal muss man mehrfach anwenden: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$.

Wer gewinnt das Wettrennen?

Daraus folgt eine nützliche Rangordnung des Wachstums:

$e^x \;\gg\; x^n \;\gg\; \ln x$

Die Exponentialfunktion schlägt jede Potenz, und der Logarithmus ist langsamer als jede Potenz. So überholt $e^x$ selbst $x^3$ — es dauert nur etwas:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 8, 400)
plt.plot(x, np.exp(x), label='e^x')
plt.plot(x, x**3, label='x^3')
plt.ylim(0, 500); plt.legend(); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title('e^x überholt jede Potenz')
plt.show()

Übung 1

a) $\;\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 4x}{2x^3 + 1}$

b) $\;\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ (l'Hôpital)

c) $\;\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$

d) $\;\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

Das nimmst du mit

• Polynom im Unendlichen: nur der höchste Term zählt.
• l'Hôpital nur bei $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ — Zähler und Nenner getrennt ableiten.
• Wachstums-Rangordnung: $e^x \gg x^n \gg \ln x$.