Extrema

Hoch- und Tiefpunkte sind die interessantesten Stellen einer Kurve: der höchste Ertrag, die geringsten Kosten, die maximale Höhe. Die Ableitung aus dem Kapitel [[Ableitung]] findet sie zuverlässig.

Warum $f'(x) = 0$?

Denk an einen Berggipfel: Kurz davor geht es hinauf (positive Steigung), kurz danach hinab (negative Steigung). Dazwischen, am höchsten Punkt selbst, ist die Tangente waagrecht — die Steigung wechselt von $+$ nach $-$ und ist im Umkehrpunkt null. Dasselbe (umgekehrt) im Tal. Daraus die notwendige Bedingung:

$f'(x) = 0$

Das liefert die Kandidaten. «Notwendig» heisst aber: An jedem Extremum ist $f' = 0$ — nicht umgekehrt. Ein Sattelpunkt hat auch $f' = 0$, ohne Extremum zu sein. Wir müssen also noch die Art bestimmen.

Warum die zweite Ableitung die Art verrät

$f''$ ist die Änderungsrate der Steigung. An einem Tiefpunkt geht die Steigung von negativ nach positiv, also nimmt sie zu $\Rightarrow f'' > 0$. An einem Hochpunkt fällt die Steigung von positiv nach negativ, also nimmt sie ab $\Rightarrow f'' < 0$. Das ist der ganze Grund hinter der Regel:

• $f''(x_0) > 0$: Steigung wächst, Kurve ist eine Linkskurve $\Rightarrow$ Minimum.
• $f''(x_0) < 0$: Steigung fällt, Kurve ist eine Rechtskurve $\Rightarrow$ Maximum.
• $f''(x_0) = 0$: unentschieden — hier kann ein Sattelpunkt liegen (nächste Seite).

Das Rezept

1. $f'(x)$ bilden und $f'(x) = 0$ lösen → Kandidaten $x_0$.
2. $f''(x)$ bilden und jeden Kandidaten einsetzen → Art bestimmen.
3. $y$-Wert über $f(x_0)$ berechnen → vollständiger Punkt.

Musterbeispiel. $f(x) = x^3 - 3x$. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$. Mit $f''(x) = 6x$:

• $f''(1) = 6 > 0$ → Minimum bei $(1 \mid -2)$.
• $f''(-1) = -6 < 0$ → Maximum bei $(-1 \mid 2)$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2.2, 2.2, 400)
plt.plot(x, x**3 - 3*x)
plt.plot(-1, 2, 'o', color='C1'); plt.annotate('Max (-1 | 2)', (-1, 2), xytext=(-70, 8), textcoords='offset points')
plt.plot(1, -2, 'o', color='C3'); plt.annotate('Min (1 | -2)', (1, -2), xytext=(6, -4), textcoords='offset points')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title(r'$f(x) = x^3 - 3x$')
plt.show()

Übung 1

Bestimme alle Extrema (Art und Koordinaten):

a) $\;f(x) = x^2 - 4x + 1$

b) $\;f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$

c) $\;f(x) = -x^2 + 6x$