Vollständige Kurvendiskussion

Jetzt setzen wir alles zusammen. Eine Kurvendiskussion ist ein festes Rezept: Punkt für Punkt sammelst du die Eigenschaften einer Funktion, bis du ihren Graphen ohne Wertetabelle skizzieren kannst.

Das Rezept

1. Definitionsbereich — wo ist $f$ überhaupt definiert? (Nenner $\neq 0$, Wurzel $\ge 0$.)
2. Symmetrie — nur gerade Potenzen $\Rightarrow$ achsensymmetrisch; nur ungerade $\Rightarrow$ punktsymmetrisch zum Ursprung.
3. Nullstellen — $f(x) = 0$ lösen.
4. Pole & Asymptoten — Verhalten an Definitionslücken und für $x \to \pm\infty$.
5. Extrema — $f'(x) = 0$, Art über $f''$.
6. Wendepunkte — $f''(x) = 0$ mit Vorzeichenwechsel.
7. Skizze — alle Punkte eintragen, verbinden.

Ein Beispiel von A bis Z

$f(x) = x^4 - 4x^2$

1. Definitionsbereich: ganz $\mathbb{R}$ (Polynom).
2. Symmetrie: nur gerade Potenzen $\Rightarrow$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
3. Nullstellen: $x^2(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ (doppelt) und $x = \pm 2$.
4. Fernverhalten: höchster Term $x^4 \Rightarrow f \to +\infty$ für $x \to \pm\infty$.
5. Extrema: $f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0,\ \pm\sqrt{2}$. Mit $f''(x) = 12x^2 - 8$:
   • $f''(0) = -8 < 0 \Rightarrow$ Maximum $(0 \mid 0)$.
   • $f''(\pm\sqrt2) = 16 > 0 \Rightarrow$ Minima $(\pm\sqrt2 \mid -4)$.
6. Wendepunkte: $f''(x) = 12x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{\tfrac23} \approx \pm 0.82$, dort $f \approx -2.2$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2.4, 2.4, 500)
plt.plot(x, x**4 - 4*x**2)
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.6)
plt.plot([0], [0], 'o', color='C3', label='Max (0 | 0)')
plt.plot([np.sqrt(2), -np.sqrt(2)], [-4, -4], 'o', color='C2', label='Min (±√2 | -4)')
w = np.sqrt(2/3)
plt.plot([w, -w], [w**4 - 4*w**2]*2, 's', color='C1', ms=5, label='Wendepunkte')
plt.legend(fontsize=8); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title(r'$f(x) = x^4 - 4x^2$')
plt.show()

Alles passt zusammen: symmetrisch zur $y$-Achse, ein «W» mit Maximum im Ursprung und zwei Minima — genau wie die gesammelten Punkte es vorhersagen.

Übung 1

Führe eine vollständige Kurvendiskussion durch (Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkt, Fernverhalten, Skizze):

$f(x) = x^3 - 3x^2$