Wendepunkte & Krümmung

Die erste Ableitung sagt, ob eine Kurve steigt oder fällt. Die zweite sagt, wie sie sich krümmt — und wo sie von der einen Krümmung in die andere kippt. Dieser Kipppunkt heisst Wendepunkt.

Was $f''$ über die Krümmung verrät

• $f''(x) > 0$: Linkskurve (nach oben gekrümmt, wie eine Tasse ∪).
• $f''(x) < 0$: Rechtskurve (nach unten gekrümmt, wie ein Hügel ∩).

Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der die Krümmung das Vorzeichen wechselt. Notwendig ist dort

$f''(x) = 0.$

Aber Achtung — notwendig ist nicht hinreichend: $f''(x) = 0$ allein genügt nicht. Bestätige den Wendepunkt, indem $f''$ dort das Vorzeichen wechselt (oder gleichwertig $f'''(x) \neq 0$).

Der klassische Trugschluss

Bei $f(x) = x^4$ ist $f''(x) = 12x^2$, also $f''(0) = 0$. Trotzdem ist $x = 0$ kein Wendepunkt: $12x^2$ ist links und rechts von $0$ positiv — kein Vorzeichenwechsel. Es ist ein Minimum. Immer den Wechsel prüfen!

Musterbeispiel. $f(x) = x^3 - 3x^2$. Dann $f''(x) = 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$, und $f'''(x) = 6 \neq 0$ bestätigt den Wendepunkt. $y$-Wert: $f(1) = 1 - 3 = -2$, also Wendepunkt $(1 \mid -2)$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1.2, 3, 400)
plt.plot(x, x**3 - 3*x**2)
plt.plot(1, -2, 'o', color='C1')
plt.annotate('Wendepunkt (1 | -2)', (1, -2), xytext=(10, -6), textcoords='offset points')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title(r'$f(x) = x^3 - 3x^2$: rechts- wird linksgekrümmt bei x = 1')
plt.show()

Fällt ein Wendepunkt mit einer waagrechten Tangente zusammen (also auch $f'(x) = 0$), heisst er Sattelpunkt — die Kurve legt eine kurze «Terrasse» ein, ohne ein Extremum zu bilden.

Übung 1

a) Bestimme den Wendepunkt von $\;f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$.

b) Zeige, dass $\;f(x) = x^4$ bei $x = 0$ keinen Wendepunkt hat, obwohl $f''(0) = 0$ ist.

c) Bestimme den Wendepunkt von $\;f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ und prüfe, ob es ein Sattelpunkt ist.

Das nimmst du mit

• $f'' > 0$ Linkskurve, $f'' < 0$ Rechtskurve.
• Wendepunkt: $f'' = 0$ und Vorzeichenwechsel (bzw. $f''' \neq 0$).
• Wendepunkt mit waagrechter Tangente ($f' = 0$) = Sattelpunkt.