Die Ableitung

Die Ableitung misst, wie steil eine Funktion an einer Stelle ist — die Steigung ihrer Tangente. Das ist die Antwort auf «wie schnell ändert sich etwas gerade jetzt?»: Geschwindigkeit, Wachstumsrate, Grenzkosten. Und sie entsteht direkt aus dem Grenzwertgedanken von der Seite [[Grenzwerte]].

Warum ein Grenzwert nötig ist

«Steigung» kennst du von der Geraden: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ zwischen zwei Punkten. Aber an einem Punkt gibt es kein $\Delta x$ — teilte man $\frac{0}{0}$, wäre man ratlos. Der Ausweg: Nimm einen zweiten Punkt im Abstand $h$, berechne die Steigung dieser Sekante, und lass $h$ gegen null gehen. Die Sekante kippt dabei in die Tangente; ihr Grenzwert ist die momentane Steigung:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Genau deshalb ist die Ableitung ein Grenzwert — es ist die einzige Art, «Steigung in einem einzelnen Punkt» überhaupt sinnvoll zu definieren.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-0.5, 2.5, 400)
plt.plot(x, x**2, 'C0', label='f(x) = x²')
a = 1.0
for h in [1.0, 0.5, 0.2]:
    m = ((a + h)**2 - a**2) / h
    plt.plot(x, a**2 + m*(x - a), alpha=0.5, lw=1, label=f'Sekante h={h}  (m={m:.1f})')
plt.plot(x, a**2 + 2*(x - a), 'k--', label="Tangente  f'(1) = 2")
plt.plot(a, a**2, 'ko')
plt.ylim(-1, 6); plt.legend(fontsize=8); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title('Die Sekante wird zur Tangente')
plt.show()

Rechnet man diesen Grenzwert für $f(x) = x^2$ aus, wird $\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \to 2x$. Das ist die Potenzregel in Aktion — man muss sie nur einmal aus der Definition herleiten, danach genügt die Regel.

Die Ableitungsregeln

$\big(x^n\big)' = n\,x^{n-1} \qquad (c \cdot f)' = c \cdot f' \qquad (f + g)' = f' + g'$

$(f \cdot g)' = f'g + f g' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - f g'}{g^2} \qquad \big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Zwei Regeln sind fehleranfällig, wenn man das Warum nicht kennt:

• Produktregel ist nicht $f'g'$. Ändern sich zwei Faktoren gleichzeitig, tragen beide zur Änderung bei — einmal ändert sich $f$ (mal dem aktuellen $g$), einmal $g$ (mal dem aktuellen $f$). Daher die Summe $f'g + fg'$.
• Kettenregel braucht den inneren Faktor. Bei $f(g(x))$ reagiert die äussere Funktion auf ihre Eingabe, aber diese Eingabe $g(x)$ ändert sich selbst mit der Rate $g'(x)$. Beide Raten multiplizieren sich — der Faktor $g'(x)$ darf nie fehlen.

Dazu die Ableitungen, die man auswendig kennt: $\;(e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \dfrac{1}{x}, \quad (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x.$

Musterbeispiel (Produkt). $\;y = x^2 e^x \;\Rightarrow\; y' = 2x\,e^x + x^2 e^x = x e^x(2 + x)$

Musterbeispiel (Kette). $\;y = \sin(x^2)$: äussere Funktion $\sin$, innere $x^2$. $\;y' = \cos(x^2) \cdot 2x$

Übung 1

Leite ab:

a) $\;f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$

b) $\;g(x) = x^3 \ln x$ (Produktregel)

c) $\;h(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ (Quotientenregel)

d) $\;k(x) = (x^2 - 3)^5$ (Kettenregel)

Das nimmst du mit

• Ableitung = Tangentensteigung = Grenzwert des Differenzenquotienten (nur so ist «Steigung in einem Punkt» definierbar).
• Produktregel $f'g + fg'$, weil sich beide Faktoren ändern — nicht $f'g'$.
• Kettenregel: der innere Faktor $g'(x)$ ist die Rate, mit der sich die Eingabe ändert — nie vergessen.