Grenzwerte & Folgen

Warum es Grenzwerte überhaupt braucht

Manche der wichtigsten Fragen der Mathematik betreffen Stellen, die man nicht direkt einsetzen kann. Wie schnell fährt ein Auto in genau diesem Augenblick — nicht im Durchschnitt über eine Sekunde, sondern jetzt? Was macht $\frac{\sin x}{x}$ bei $x = 0$, wo doch $\frac{0}{0}$ herauskommt? Wohin läuft eine Funktion «ganz weit draussen»?

In all diesen Fällen ist der Punkt selbst unerreichbar oder verboten. Der Grenzwert ist der Ausweg: Statt zu fragen «welchen Wert hat es dort?» fragen wir «welchem Wert kommt es beliebig nahe, wenn ich mich nähere?». Dieses Umformulieren macht das Unerreichbare berechenbar — und trägt die ganze Analysis: die Ableitung ist ein Grenzwert (siehe [[Ableitung]]), das Integral auch.

Folgen und ihr Grenzwert

Eine Folge ist eine durchnummerierte Liste $a_1, a_2, a_3, \dots$. Schau dir an, was mit wachsendem $n$ geschieht:

• $a_n = \frac{1}{n}$: $1, \tfrac12, \tfrac13, \dots$ — warum geht das gegen $0$? Weil du dieselbe $1$ in immer mehr Stücke teilst; jedes einzelne Stück wird beliebig winzig, ohne je negativ zu werden. Es gibt keine positive Schranke, die die Folge auf Dauer nicht unterschreitet — genau das meint «Grenzwert $0$».
• $a_n = \frac{n}{n+1}$: $\tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \dots \to 1$ — der Unterschied zu $1$ ist $\frac{1}{n+1}$, und der schrumpft aus demselben Grund gegen null.
• $a_n = (-1)^n$: $-1, 1, -1, \dots$ — springt für immer hin und her. Es gibt keinen einzelnen Wert, dem sich die Folge nähert, also kein Grenzwert (sie divergiert).

Wir schreiben $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = g$.

Der Trick bei Brüchen — und warum er funktioniert. Bei $\frac{\infty}{\infty}$ scheint alles unendlich. Aber nicht jeder Unendlich ist gleich schnell: für grosse $n$ dominiert der Term mit der höchsten Potenz, der Rest ist dagegen Staub. Teilt man Zähler und Nenner durch diese höchste Potenz, macht man genau das sichtbar — alle kleineren Terme tragen ein $\frac{1}{n}$ und verschwinden:

$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n}{n^2 - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{1 - \frac{1}{n^2}} = \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3$

Man teilt also nicht «aus einem Rezept», sondern weil dadurch übrig bleibt, was wirklich zählt: das Verhältnis der schnellsten Terme, hier $\frac{3n^2}{n^2} = 3$.

Grenzwert einer Funktion

Dasselbe für $x \to a$. Und hier zeigt sich, warum $\frac{0}{0}$ kein Endergebnis ist: Die Formel wird an dieser einen Stelle blind (Zähler und Nenner verschwinden gleichzeitig), aber die Funktion selbst läuft rundherum ungestört weiter — sie steuert auf einen Wert zu. Faktorisieren hebt den Schleier, indem es den gemeinsamen Faktor herauskürzt, der die Null verursacht hat:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

Bei $x = 2$ hat die ursprüngliche Funktion ein Loch — aber links und rechts davon nähert sie sich unübersehbar der $4$. Der Grenzwert liest genau diesen Wert ab, den das Loch verdeckt.

Warum die Zahl $e$ hier auftaucht

Erinnere dich an den Zinseszins ([[Exponentialfunktionen]]): 100 % Zins pro Jahr machen aus $1$ am Jahresende $2$. Was, wenn man die 100 % nicht einmal, sondern häufiger gutschreibt — halbjährlich je 50 %, monatlich je $\frac{100}{12}$ %, täglich, sekündlich? Jeder Zwischenschritt verzinst auch die schon gutgeschriebenen Zinsen, also wird es mehr als $2$. Aber unendlich viel? Nein — es strebt gegen eine feste Grenze:

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2.718$

Das erklärt den scheinbaren Widerspruch: Die Basis $1 + \frac1n$ zieht gegen $1$ (würde allein $1$ ergeben), der Exponent $n$ zieht gegen $\infty$ (würde allein explodieren). Diese beiden Kräfte halten sich die Waage — und das Gleichgewicht ist genau $e$. $e$ ist also nichts Willkürliches, sondern das Ergebnis von stetigem, ununterbrochenem Wachstum:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = np.arange(1, 100)
plt.plot(n, (1 + 1/n)**n, 'o', ms=3, label='(1 + 1/n)^n')
plt.axhline(np.e, color='C1', ls='--', label='e ≈ 2.718')
plt.legend(); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title('Immer häufiger verzinsen: die Folge strebt gegen e')
plt.show()

Übung 1

a) $\;\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{5n^2 - 3n}{2n^2 + 1}$ — und begründe in einem Satz, warum die kleineren Terme keine Rolle spielen.

b) $\;\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

c) $\;\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n^2 + n}$

d) Warum liefert $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$ für grosse $n$ nicht einfach $1$?

Das nimmst du mit

• Ein Grenzwert beschreibt Verhalten an unerreichbaren Stellen (Unendlich, ein Loch).
• $\frac{\infty}{\infty}$: der schnellste Term dominiert — durch ihn teilen macht das sichtbar.
• $\frac{0}{0}$ ist kein «keine Lösung», sondern ein verdeckter Wert — kürzen legt ihn frei.
• $e$ ist die Grenze von immer häufigerem Verzinsen: stetiges Wachstum.