Polynomdivision & Nullstellen

Bei quadratischen Termen finden wir Nullstellen mit der Lösungsformel. Ab Grad 3 gibt es keine handliche Formel mehr — aber einen Trick: eine Nullstelle erraten, den zugehörigen Linearfaktor abspalten und so den Grad senken, bis wieder etwas Quadratisches übrig bleibt.

Zwei Sätze, die das Raten steuern

• Abspalten: Ist $a$ eine Nullstelle von $f$, dann geht die Division $f(x) : (x - a)$ ohne Rest auf, und der Grad sinkt um 1. So wird aus einem kubischen ein quadratisches Problem.
• Ganzzahlige Nullstellen: Sie müssen Teiler des konstanten Glieds $a_0$ sein. Das grenzt die Kandidaten drastisch ein — man muss nicht wild raten.

Polynomdivision

Sie funktioniert wie die schriftliche Division mit Zahlen: höchste Potenz durch höchste Potenz, zurückmultiplizieren, subtrahieren, wiederholen.

Musterbeispiel. Nullstellen von $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.

Kandidaten sind die Teiler von $6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Test: $f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓. Also spalten wir $(x - 1)$ ab:

$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

Der Rest ist quadratisch: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Damit sind alle Nullstellen gefunden: $x = 1,\ 2,\ 3$ — und dort schneidet die Kurve die Achse:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 4, 400)
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.8)
plt.plot(x, x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6)
for n in [1, 2, 3]:
    plt.plot(n, 0, 'o', color='C1')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title(r'$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$')
plt.show()

Übung 1

a) Führe die Polynomdivision aus: $\;(2x^3 + 3x^2 - 11x - 6) : (x - 2)$

b) Finde alle Nullstellen von $\;f(x) = x^3 - 7x + 6$.

c) Welche ganzen Zahlen kommen als Nullstellen von $\;x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ überhaupt infrage — und welche sind es wirklich?

Das nimmst du mit

• Ab Grad 3: eine Nullstelle raten, Linearfaktor abspalten, Grad senken.
• Ganzzahlige Nullstellen sind Teiler des konstanten Glieds $a_0$.
• Nach dem Abspalten bleibt ein Term kleineren Grades — weiter faktorisieren.