Rationale Funktionen

Eine rationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen, $h(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$. Spannend wird sie dort, wo der Nenner null wird — und weit draussen, wo sie sich einer einfachen Linie annähert. Beides lesen wir direkt aus Zähler und Nenner ab.

Wo der Nenner null wird

An den Nullstellen des Nenners ist $h$ nicht definiert. Zwei Fälle:

• Polstelle: Nenner $= 0$, Zähler $\neq 0$. Die Funktion strebt gegen $\pm\infty$ — eine senkrechte Asymptote. Beispiel: $\dfrac{1}{x-2}$ hat bei $x = 2$ einen Pol.
• Hebbare Lücke: Zähler und Nenner werden null, der Faktor lässt sich kürzen. Es bleibt nur ein einzelnes «Loch» im Graphen. Beispiel: $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ für $x \neq 2$ — eine Lücke bei $x = 2$, sonst eine normale Gerade.

Die Kürzprobe entscheidet also, ob eine Asymptote oder bloss ein Loch vorliegt.

Verhalten im Unendlichen

Für sehr grosse $|x|$ zählt nur der höchste Grad oben und unten. Vergleiche $\deg p$ und $\deg q$:

• $\deg p < \deg q$: waagrechte Asymptote $y = 0$.
• $\deg p = \deg q$: waagrechte Asymptote $y = \frac{\text{Leitkoeffizient oben}}{\text{Leitkoeffizient unten}}$.
• $\deg p = \deg q + 1$: schiefe Asymptote — per Polynomdivision ablesbar.

Musterbeispiel (schiefe Asymptote). $\dfrac{x^2 + 1}{x} = x + \dfrac{1}{x}$. Der Rest $\frac{1}{x}$ verschwindet für grosse $|x|$, also nähert sich der Graph der Geraden $y = x$ — bei $x = 0$ sitzt zugleich ein Pol:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xn = np.linspace(-4, -0.15, 300)
xp = np.linspace(0.15, 4, 300)
for xs in (xn, xp):
    plt.plot(xs, (xs**2 + 1) / xs, 'C0')
xx = np.linspace(-4, 4, 400)
plt.plot(xx, xx, '--', color='C1', label='schiefe Asymptote y = x')
plt.axvline(0, color='gray', lw=0.8, ls=':')
plt.ylim(-8, 8); plt.legend(); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title(r'$h(x) = \frac{x^2+1}{x} = x + \frac{1}{x}$')
plt.show()

Übung 1

a) Bestimme Definitionslücken von $\;h(x) = \dfrac{x + 1}{(x - 3)(x + 2)}$ und sage, ob es Polstellen oder hebbare Lücken sind.

b) Vereinfache $\;\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ und benenne die Besonderheit bei $x = 3$.

c) Gib die waagrechte Asymptote von $\;\dfrac{3x^2 - 1}{x^2 + 2}$ an.

d) Bestimme die schiefe Asymptote von $\;\dfrac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$.

Das nimmst du mit

• Nenner $= 0$: Zähler $\neq 0$ $\to$ Polstelle; Zähler $= 0$ und kürzbar $\to$ hebbare Lücke.
• Im Unendlichen entscheiden die höchsten Grade über die waagrechte Asymptote.
• $\deg p = \deg q + 1$: schiefe Asymptote per Polynomdivision.