Potenzfunktionen

Lernziele

• Du kennst die Graphen von $y = x^n$ für positive und negative ganze $n$.
• Du kannst Symmetrie und Verlauf am Exponenten ablesen.

Die Familie $y = x^n$

Eine Potenzfunktion hat die Form $y = x^n$. Je nach Exponent sehen die Graphen sehr unterschiedlich aus — aber es gibt ein klares System. Wir schauen uns die vier Typen an.

Gerade Exponenten: die Parabel-Familie

$x^2$, $x^4$, $x^6$, … sehen alle ähnlich aus: achsensymmetrisch zur $y$-Achse (denn $(-x)^n = x^n$ für gerades $n$), Tiefpunkt im Ursprung. Je grösser $n$, desto flacher verläuft die Kurve zwischen $-1$ und $1$ — und desto steiler aussen.

Ungerade Exponenten: die S-Familie

$x^3$, $x^5$, … sind punktsymmetrisch zum Ursprung ($(-x)^n = -x^n$ für ungerades $n$). Sie steigen durchgehend: negativ links, positiv rechts, mit einem «Sattel» im Ursprung.

Negative Exponenten: die Hyperbel-Familie

$y = x^{-1} = \frac{1}{x}$ kennst du vielleicht schon — die Hyperbel:

Neu ist hier: $x = 0$ ist nicht erlaubt (Division durch null!). Die Graphen bestehen aus zwei Ästen und schmiegen sich den Achsen an, ohne sie je zu erreichen. Auch hier entscheidet gerade/ungerade über die Symmetrie: $\frac{1}{x}$ ist punktsymmetrisch, $\frac{1}{x^2}$ achsensymmetrisch (beide Äste oben).

Alle Typen im Überblick

Exponent	Beispiel	Symmetrie	Besonderheit
gerade, positiv	$x^2$	Achsensymmetrie	Tiefpunkt im Ursprung
ungerade, positiv	$x^3$	Punktsymmetrie	durchgehend steigend
gerade, negativ	$x^{-2}$	Achsensymmetrie	Pol bei $x=0$, beide Äste oben
ungerade, negativ	$x^{-1}$	Punktsymmetrie	Pol bei $x=0$, Äste diagonal

Und ein nützlicher Anker: Alle Potenzfunktionen $y = x^n$ laufen durch den Punkt $(1|1)$, denn $1^n = 1$.

Kurz geprüft

Aufgaben

1. Skizziere von Hand in ein Koordinatensystem: $y = x^3$, $y = x^{-2}$ und $y = x^6$. Markiere den gemeinsamen Punkt.
2. Entscheide ohne zu zeichnen: Ist $f(x) = x^7$ achsen- oder punktsymmetrisch? Und $g(x) = x^{-6}$?
3. Durch welchen der Punkte $(2|32)$, $(2|30)$, $(2|64)$ geht $y = x^5$?