Du kannst die fünf Potenzgesetze anwenden.
Du weisst, was negative und rationale Exponenten bedeuten.
Potenzen mit natürlichen Exponenten kennst du: a 3 = a ⋅ a ⋅ a a^3 = a \cdot a \cdot a a 3 = a ⋅ a ⋅ a
Gesetz Beispiel a m ⋅ a n = a m + n a^m \cdot a^n = a^{m+n} a m ⋅ a n = a m + n a 2 ⋅ a 3 = ( a ⋅ a ) ( a ⋅ a ⋅ a ) = a 5 a^2 \cdot a^3 = (a \cdot a)(a \cdot a \cdot a) = a^5 a 2 ⋅ a 3 = ( a ⋅ a ) ( a ⋅ a ⋅ a ) = a 5 a m a n = a m − n \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} a n a m = a m − n a 5 a 2 = a 3 \dfrac{a^5}{a^2} = a^3 a 2 a 5 = a 3 ( a m ) n = a m ⋅ n (a^m)^n = a^{m \cdot n} ( a m ) n = a m ⋅ n ( a 2 ) 3 = a 2 ⋅ a 2 ⋅ a 2 = a 6 (a^2)^3 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 = a^6 ( a 2 ) 3 = a 2 ⋅ a 2 ⋅ a 2 = a 6 ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n ( 2 x ) 3 = 8 x 3 (2x)^3 = 8x^3 ( 2 x ) 3 = 8 x 3 ( a b ) n = a n b n \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} ( b a ) n = b n a n ( x 2 ) 2 = x 2 4 \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = \dfrac{x^2}{4} ( 2 x ) 2 = 4 x 2
Wobei die Gesetze NICHT helfen Für a 2 + a 3 a^2 + a^3 a 2 + a 3 kein Gesetz — Potenzen mit verschiedenen Exponenten kann man nicht addieren wie multiplizieren. Und ( a + b ) 2 (a+b)^2 ( a + b ) 2 nicht a 2 + b 2 a^2 + b^2 a 2 + b 2
Was soll a − 2 a^{-2} a − 2
a 2 a 5 = a 2 − 5 = a − 3 und gleichzeitig a 2 a 5 = 1 a 3 \frac{a^2}{a^5} = a^{2-5} = a^{-3} \qquad \text{und gleichzeitig} \qquad \frac{a^2}{a^5} = \frac{1}{a^3} a 5 a 2 = a 2 − 5 = a − 3 und gleichzeitig a 5 a 2 = a 3 1
Also muss gelten:
a − n = 1 a n und a 0 = 1 a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad \text{und} \qquad a^0 = 1 a − n = a n 1 und a 0 = 1
Ein negativer Exponent heisst: Kehrwert. Beispiele: 2 − 3 = 1 8 2^{-3} = \frac{1}{8} 2 − 3 = 8 1 x − 1 = 1 x \ x^{-1} = \frac{1}{x} x − 1 = x 1 10 − 6 = 0.000001 \ 10^{-6} = 0.000001 1 0 − 6 = 0.000001
Und a 1 / 2 a^{1/2} a 1/2
( a 1 / 2 ) 2 = a 1 2 ⋅ 2 = a 1 = a \left(a^{1/2}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a ( a 1/2 ) 2 = a 2 1 ⋅ 2 = a 1 = a
a 1 / 2 a^{1/2} a 1/2 a a a Wurzel :
a 1 / 2 = a a m / n = a m n ( a > 0 ) a^{1/2} = \sqrt{a} \qquad \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \qquad (a > 0) a 1/2 = a a m / n = n a m ( a > 0 )
Beispiele: 8 1 / 3 = 8 3 = 2 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 8 1/3 = 3 8 = 2 16 3 / 4 = ( 16 4 ) 3 = 2 3 = 8 \quad 16^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8 1 6 3/4 = ( 4 16 ) 3 = 2 3 = 8
Damit sind Wurzeln nichts Neues mehr, sondern einfach Potenzen — und alle fünf Gesetze gelten auch für sie.
Vereinfache: a) a 4 ⋅ a − 7 a^4 \cdot a^{-7} a 4 ⋅ a − 7 ( 2 x 3 ) 2 ⋅ x − 6 (2x^3)^2 \cdot x^{-6} ( 2 x 3 ) 2 ⋅ x − 6 b − 2 b − 5 \dfrac{b^{-2}}{b^{-5}} b − 5 b − 2
Schreibe als Potenz mit rationalem Exponenten: a) x 3 \sqrt[3]{x} 3 x x 5 \sqrt{x^5} x 5 1 x 4 \dfrac{1}{\sqrt[4]{x}} 4 x 1
Berechne ohne Taschenrechner: a) 27 1 / 3 27^{1/3} 2 7 1/3 4 − 2 4^{-2} 4 − 2 25 3 / 2 25^{3/2} 2 5 3/2 1000 2 / 3 1000^{2/3} 100 0 2/3