Das Monty-Hall-Problem

Stellen Sie sich vor, Sie stehen im Scheinwerferlicht einer amerikanischen Spielshow der 70er-Jahre. Das Publikum johlt, der Moderator Monty Hall grinst, und vor Ihnen stehen drei verschlossene Tore.

Hinter einem Tor parkiert ein nagelneues Auto. 🚗 Hinter den anderen beiden steht je eine meckernde Ziege. 🐐🐐 (Niemand weiss genau, warum es in dieser Show immer Ziegen sind. Es ist halt so.)

Das Spiel läuft so:

1. Sie wählen ein Tor. Sagen wir, Sie tippen auf Tor 1. Es bleibt vorerst zu.
2. Monty, der genau weiss, wo das Auto steht, öffnet eines der beiden anderen Tore — und zwar immer eines mit einer Ziege dahinter. Sagen wir, er öffnet Tor 3. Eine Ziege schaut Sie vorwurfsvoll an.
3. Jetzt kommt die entscheidende Frage. Monty lehnt sich zu Ihnen und fragt mit samtiger Stimme:

   "Möchten Sie bei Tor 1 bleiben — oder wechseln Sie lieber zu Tor 2?"

Die ganze Halle hält den Atem an. Was tun Sie?

Erst mal abstimmen!

Bevor wir irgendetwas rechnen oder programmieren: Was ist Ihr Bauchgefühl? Stimmen Sie ab — ehrlich, ohne zu googeln.

Die verblüffende Wahrheit

Die korrekte Antwort lautet: Wechseln! Wer wechselt, gewinnt in 2 von 3 Fällen das Auto. Wer stur bleibt, gewinnt nur in 1 von 3 Fällen.

Das klingt erst mal absurd. Als die Kolumnistin Marilyn vos Savant diese Lösung 1990 veröffentlichte, bekam sie tausende wütende Briefe — viele davon von Mathematikprofessoren, die ihr erklären wollten, dass sie falsch liege.

Doch sie hatte recht.

Warum ist das so?

Der Trick ist, sich zu erinnern: Monty weiss, wo das Auto steht, und öffnet nie das Auto-Tor. Seine Wahl ist keine zufällige — sie steckt voller Information.

Schauen wir uns einfach alle Möglichkeiten an. Nehmen wir an, Sie wählen immer Tor 1 (das schränkt nichts ein, die Logik ist bei jeder Starttür dieselbe):

Auto steht hinter	Sie wählen	Monty öffnet	Strategie Bleiben	Strategie Wechseln
Tor 1	Tor 1	Tor 2 oder 3	🚗 gewonnen	🐐 verloren
Tor 2	Tor 1	Tor 3	🐐 verloren	🚗 gewonnen
Tor 3	Tor 1	Tor 2	🐐 verloren	🚗 gewonnen

Jede dieser drei Zeilen ist gleich wahrscheinlich. Zählen Sie nach:

• Bleiben gewinnt nur in der ersten Zeile → 1 von 3.
• Wechseln gewinnt in der zweiten und dritten Zeile → 2 von 3.

Die intuitive Erklärung

Beim ersten Tipp liegt Ihre Trefferchance bei $\frac{1}{3}$. Das heisst: Mit Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{3}$ steht das Auto hinter einem der beiden anderen Tore.

Jetzt öffnet Monty von diesen beiden anderen Toren das eine, hinter dem garantiert eine Ziege steht. Die gesamten $\frac{2}{3}$ Wahrscheinlichkeit "rutschen" damit auf das eine verbleibende Tor. Indem Sie wechseln, schnappen Sie sich diese $\frac{2}{3}$.

$$P(\text{Gewinn} \mid \text{Bleiben}) = \frac{1}{3}, \qquad P(\text{Gewinn} \mid \text{Wechseln}) = \frac{2}{3}$$

100 Toren

Mir half folgender Gedanke: Stellen Sie sich 100 Tore vor. Sie wählen eines — Ihre Chance auf das Auto ist $\frac{1}{100}$. Nun öffnet Monty 98 Ziegentore und lässt nur Ihr Tor und ein einziges anderes zu. Würden Sie immer noch glauben, dass Ihr ursprünglicher 1%-Tipp genauso gut ist wie das eine Tor, das Monty bewusst übrig gelassen hat?

Die Challenge: Beweisen Sie es mit Code 🎲

Mathematik ist schön — aber nichts überzeugt so sehr wie eine Simulation mit einer Million Durchläufen. Programmieren Sie das Monty-Hall-Spiel und lassen Sie den Computer ausrechnen, welche Strategie besser ist.

Ihre Aufgabe: Simulieren Sie sehr viele Spielrunden für beide Strategien und speichern Sie die Anzahl Gewinne in zwei Variablen:

• gewinne_bleiben — wie oft die Strategie Bleiben das Auto gewinnt
• gewinne_wechseln — wie oft die Strategie Wechseln das Auto gewinnt

Wenn Ihre Simulation korrekt ist, sollte gewinne_wechseln ungefähr doppelt so gross sein wie gewinne_bleiben.

Tipps zum Vorgehen

Sie müssen Monty nicht in seiner ganzen Komplexität nachbauen. Überlegen Sie, was wirklich zählt:

1. Das Auto platzieren: Ziehen Sie mit random.randint(1, 3) zufällig das Tor, hinter dem das Auto steht.
2. Die Wahl der Kandidatin: Ziehen Sie ebenfalls mit random.randint(1, 3) das zuerst gewählte Tor.
3. Überlegen Sie sich, in welchen Fälle welche Strategie gewinnt. Hier lohnt es sich, Zeit zu investieren! Sie müssen ertaunlich wenig simulieren.
4. Zählen Sie über sehr viele Durchläufe (z.B. eine Million) mit, wie oft jede Strategie gewinnt.

Und, lagen Sie richtig?

Schauen Sie nochmals auf Ihre Abstimmung ganz am Anfang. Falls Sie "Wechseln" getippt haben: Gratulation, Ihre Intuition war besser als die der erwähnten Mathematikprofessoren. Falls Sie "50:50" oder "Bleiben" gewählt haben: Willkommen im Club der überwältigenden Mehrheit — und Sie haben heute etwas richtig Schönes über Wahrscheinlichkeit gelernt.

Die Simulation hat in einer Million Durchläufen bestätigt, was die Mathematik behauptet. Genau das ist die Stärke einer Monte-Carlo-Simulation: Wenn die reine Wahrscheinlichkeitsrechnung unser Bauchgefühl überfordert, lassen wir den Computer einfach Millionen Male würfeln — und die Wahrheit zeigt sich von selbst.

Und vielleicht das witzigste am Monty-Hall-Problem: So wurde das in der Spielshow gar nie gespielt. Monty Hall gab den Spielern gar nie die Möglichkeit, die Tür zu wechseln - wie er hier selbst erlkärt.