Anwendungen: Extremalprobleme

Lernziele

• Du kannst Sachsituationen durch quadratische Funktionen modellieren.
• Du kannst mit dem Scheitel grösste und kleinste Werte bestimmen.

Warum der Scheitel so wertvoll ist

Der Scheitel ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Sobald eine Grösse quadratisch von einer anderen abhängt, beantwortet der Scheitel die Frage nach dem Maximum oder Minimum — und solche Fragen stellt die Praxis dauernd: grösste Fläche, maximaler Gewinn, höchster Punkt einer Flugbahn.

Beispiel 1: Der Hühnerhof

Aus 40 m Zaun soll ein rechteckiger Hühnerhof entstehen, der an einer Seite von einer Scheunenwand begrenzt wird (dort braucht es keinen Zaun). Wie wählt man die Masse, damit die Fläche maximal wird?

Modellieren: Nennen wir die Breite (senkrecht zur Wand) $x$. Für die Länge bleibt $40 - 2x$. Die Fläche:

$A(x) = x \cdot (40 - 2x) = -2x^2 + 40x$

Scheitel suchen (quadratische Ergänzung):

$A(x) = -2(x^2 - 20x) = -2\big((x-10)^2 - 100\big) = -2(x-10)^2 + 200$

Scheitel bei $S(10|200)$: Die Fläche ist maximal für $x = 10$ m Breite, Länge $40 - 20 = 20$ m, Fläche 200 m².

Die Fläche A(x) mit Maximum bei x = 10

Interessant: Das beste Rechteck ist nicht quadratisch — wegen der gratis Wandseite lohnt es sich, in die Länge zu bauen.

Beispiel 2: Die Flugbahn

Ein Ball wird geworfen. Seine Höhe (in Metern) nach $x$ Metern Horizontaldistanz ist $h(x) = -0.1x^2 + 1.2x + 1.6$.
Wie hoch fliegt der Ball maximal, und wo landet er?

Höchster Punkt: Quadratische Ergänzung liefert $h(x) = -0.1(x-6)^2 + 5.2$. Nach 6 m Horizontaldistanz erreicht der Ball die maximale Höhe von 5.2 m.

Landepunkt: $h(x) = 0$ lösen. Die Lösungsformel gibt $x_{1,2} = 6 \pm \sqrt{52}$, also $x \approx 13.2$ (die negative Lösung liegt hinter dem Werfer). Der Ball landet nach gut 13 m.

Wurfparabel: Abwurf bei 1.6 m Höhe, Scheitel bei (6|5.2)

Das Vorgehen als Rezept

1. Variable wählen und die Zielgrösse als Funktion dieser Variablen aufschreiben.
2. Prüfen: Ist die Funktion quadratisch? Öffnung nach unten → Maximum, nach oben → Minimum.
3. Scheitel bestimmen (quadratische Ergänzung oder Symmetrie der Nullstellen).
4. Antwortsatz mit Einheiten — und kurz prüfen, ob das Resultat plausibel ist.

Aufgaben

1. Aus 60 m Zaun soll ein rechteckiges Feld (alle vier Seiten eingezäunt) mit maximaler Fläche entstehen. Bestimme die Masse.
2. Zerlege die Zahl 20 so in zwei Summanden, dass ihr Produkt maximal wird.
3. Für einen Anlass gilt: Bei einem Ticketpreis von 10 Fr. kommen 400 Personen. Pro Franken Preiserhöhung kommen 20 Personen weniger. Welcher Preis maximiert die Einnahmen?