Die Parabel

Lernziele des Kapitels

Diese Ziele erreichen Sie auf den Seiten «Die Parabel», «Der Koeffizient c und die Scheitelpunktform» und «Graphen zuordnen».

• Sie erklären, was eine quadratische Funktion und eine Parabel ist.
• Sie legen zu einer quadratischen Funktion eine Wertetabelle an und zeichnen den Graphen.
• Sie beschreiben und begründen, wie die Koeffizienten $a$ und $c$ die Parabel verändern.
• Sie berechnen die Nullstellen einer Parabel und begründen, ob es zwei, eine oder keine gibt.
• Sie lesen den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform $f(x)=a(x-u)^2+v$ ab und zeichnen die Parabel ohne Wertetabelle.
• Sie geben die Gleichung einer verschobenen Parabel an.
• Sie ordnen Parabeln und Funktionsgleichungen einander zu.

1.1 Vom Punkt zum Graphen

Eine Funktion ordnet jedem $x$ genau ein $y$ zu: Sie setzen eine Zahl für $x$ ein, rechnen $f(x)$ aus und erhalten den Punkt $\big(x\,\big|\,f(x)\big)$. Zeichnet man sehr viele solche Punkte ein, entsteht der Graph der Funktion.

Beginnen wir mit einer Funktion, die Sie schon kennen: $f(x)=2x-3$.

Ausprobieren

Setzen Sie zuerst mit «+1 Punkt» einige Punkte einzeln und rechnen Sie jeweils im Kopf nach. Klicken Sie dann auf «+10 Punkte» und «+100».

Welche Form entsteht? Hätten Sie das vorhersagen können?

Jetzt kommt eine neue Funktion: $f(x)=x^2$. Sie ordnet jeder Zahl ihr Quadrat zu, z.B. $f(3)=3^2=9$.

Schätzen Sie

Wie sieht der Graph von $f(x)=x^2$ aus? Skizzieren Sie Ihre Vermutung, bevor Sie weiterlesen.

Beispiel: Wertetabelle

Legen Sie für die Funktion $f(x)=x^2$ eine Wertetabelle für $-4\le x\le 4$ an und zeichnen Sie die Punkte in ein Koordinatensystem.

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$

Nun dasselbe mit sehr vielen Punkten: Lassen Sie die Punkte mit «+100» erscheinen. Stimmt Ihre Skizze?

Was fällt Ihnen an der Form des Graphen auf?

Beschreiben Sie den Graphen in zwei, drei Sätzen. Dürfen Sie die Punkte aus der Wertetabelle mit dem Lineal verbinden?

1.2 Quadratische Funktion und Parabel

Der Graph von $f(x)=x^2$ hat einen eigenen Namen. Er ist der einfachste Vertreter einer ganzen Familie von Funktionen:

Definition: Quadratische Funktion und Parabel

Eine Funktion mit der Gleichung

$$f(x)=ax^2+bx+c \qquad (a\neq 0)$$

heisst quadratische Funktion. Ihr Graph heisst Parabel.

Der Graph von $f(x)=x^2$ heisst Normalparabel.

Der tiefste bzw. höchste Punkt einer Parabel heisst Scheitelpunkt $S$. Die Parabel ist symmetrisch zur senkrechten Geraden durch $S$, der Symmetrieachse.

Die Stellen, an denen die Parabel die $x$-Achse schneidet oder berührt, heissen Nullstellen. Man findet sie, indem man $f(x)=0$ setzt und die quadratische Gleichung löst.

Bei der Normalparabel ist der Scheitelpunkt $S(0\,|\,0)$, die Symmetrieachse ist die $y$-Achse, und die einzige Nullstelle ist $x=0$.

1.3 Der Koeffizient a

Challenge: Die Parabel verformen

Wer schafft es, die Normalparabel $f(x)=x^2$ zu verändern, sodass sie

• schmaler wird (doppelt so steil),
• breiter wird,
• nach unten offen ist?

Geben Sie im Plugin unten eigene Funktionen ein (Feld «$f(x)=$», dann «Übernehmen») und lassen Sie jeweils Punkte erscheinen. Notieren Sie, was Sie ausprobiert haben und was dabei passiert ist.

Tipp

Sie dürfen den Term $x^2$ mit Zahlen verändern: etwas addieren, mit etwas multiplizieren, ein Minus davorsetzen … Welche Veränderungen machen die Parabel nur höher oder tiefer, welche verändern ihre Form?

Beispiel

Unten sehen Sie sechs Funktionen, links die im oberen Bild, rechts die im unteren Bild:

$$\begin{aligned} \textcolor{#1c7ed6}{f(x)} &\textcolor{#1c7ed6}{{}=x^2} & \qquad \textcolor{#1c7ed6}{p(x)} &\textcolor{#1c7ed6}{{}=-x^2} \\[6pt] \textcolor{#e8590c}{g(x)} &\textcolor{#e8590c}{{}=2x^2} & \qquad \textcolor{#e8590c}{q(x)} &\textcolor{#e8590c}{{}=-2x^2} \\[6pt] \textcolor{#2f9e44}{h(x)} &\textcolor{#2f9e44}{{}=\tfrac12x^2} & \qquad \textcolor{#2f9e44}{r(x)} &\textcolor{#2f9e44}{{}=-\tfrac12x^2} \end{aligned}$$

Tippen Sie auf eine Kurve, um Koordinaten abzulesen; mit den Schaltflächen unter dem Bild blenden Sie einzelne Kurven aus.

Beschreiben Sie, wie der Koeffizient $a$ die Parabel $f(x)=ax^2$ verändert, und begründen Sie Ihre Antwort.

Mit dem Schieberegler können Sie $a$ auch stufenlos verändern. Was passiert bei $a=0$?

1.4 Aufgaben

Beispiel

Bestimmen Sie $a$ so, dass der Punkt $P(\textcolor{dodgerblue}{1}\,|\,\textcolor{orange}{3})$ auf der Parabel mit der Gleichung $\textcolor{orange}{f(x)}=a\cdot\textcolor{dodgerblue}{x}^2$ liegt.

Liegt $P$ auf der Parabel, so muss die Funktion an der Stelle $\textcolor{dodgerblue}{x}=\textcolor{dodgerblue}{1}$ den Wert $\textcolor{orange}{f(x)}=\textcolor{orange}{3}$ haben. Wir setzen also die $x$-Koordinate von $P$ für $\textcolor{dodgerblue}{x}$ ein und die $y$-Koordinate für $\textcolor{orange}{f(x)}$:

$$\begin{aligned} \textcolor{orange}{f(x)} &= a\cdot \textcolor{dodgerblue}{x}^2 \\[4pt] \textcolor{orange}{3} &= a\cdot \textcolor{dodgerblue}{1}^2 \\[4pt] 3 &= a\cdot 1 \\[4pt] a &= 3 \end{aligned}$$

Die Parabel hat also die Gleichung $f(x)=3x^2$. Probe: $\textcolor{orange}{f(}\textcolor{dodgerblue}{1}\textcolor{orange}{)}=3\cdot \textcolor{dodgerblue}{1}^2=\textcolor{orange}{3}$, der Punkt $P$ liegt tatsächlich auf der Parabel.

Aufgaben

1. Bestimmen Sie $a$ so, dass der Punkt $P$ auf der Parabel mit der Gleichung $f(x)=ax^2$ liegt. Skizzieren Sie die Parabel in ein Koordinatensystem.

a) $P(2\,|\,10)$   b) $P(-0.5\,|\,{-0.75})$   c) $P(5\,|\,{-5})$   d) $P(-4\,|\,12)$

Kontrollieren Sie Ihre Resultate erst, wenn Sie gerechnet haben: Stellen Sie das berechnete $a$ ein (Feld rechts neben dem Regler) und prüfen Sie, ob die Parabel durch $P$ geht.

Zusatzaufgabe

2. a) Zeichnen Sie die acht Funktionen in ein Koordinatensystem ($-8\le x\le 8$, $-11\le y\le 11$):

$p(x)=-2x^2$   $q(x)=\frac14x^2$   $r(x)=3x^2$   $s(x)=-\frac13x^2$

$t(x)=1.5x^2$   $u(x)=-0.2x^2$   $v(x)=-4x^2$   $w(x)=0.6x^2$

b) Welche geometrische Wirkung hat der Koeffizient $a$ für die Parabeln der Schar $f(x)=ax^2$?