Die Parabel

Lernziele

• Du kennst die Normalparabel und ihre wichtigsten Eigenschaften.
• Du kannst aus der Scheitelform $y = a(x-u)^2 + v$ den Graphen ablesen — und umgekehrt.

Eine neue Funktionsfamilie

Bisher kennst du lineare Funktionen: $y = mx + q$, der Graph ist eine Gerade. Jetzt kommt ein $x^2$ ins Spiel — und aus der Geraden wird eine Kurve.

Die einfachste quadratische Funktion ist $y = x^2$. Ihr Graph heisst Normalparabel:

Die Normalparabel mit Scheitel S(0|0)

Drei Dinge fallen auf:

• Der tiefste Punkt heisst Scheitel — hier $S(0|0)$.
• Die Parabel ist symmetrisch zur senkrechten Geraden durch den Scheitel.
• Sie ist nach oben geöffnet und wird immer steiler.

Die Parabel verschieben und strecken

Jetzt bauen wir die allgemeine Form auf, ein Parameter nach dem anderen.

Verschieben: $y = (x - u)^2 + v$ ist die Normalparabel, verschoben um $u$ nach rechts und $v$ nach oben. Der Scheitel liegt bei $S(u|v)$.

Das Vorzeichen im Klammer-Term

$y = (x-2)^2 + 1$ hat den Scheitel bei $x = \textcolor{orange}{+2}$, nicht bei $-2$. Frag dich: Für welches $x$ wird die Klammer null? Dort liegt der Scheitel.

Strecken und spiegeln: Der Faktor $a$ in $y = a \cdot x^2$ macht die Parabel steiler ($|a| > 1$), flacher ($|a| < 1$) oder klappt sie nach unten ($a < 0$):

Die Scheitelform

Alles zusammen ergibt die Scheitelform:

$y = a(x - u)^2 + v$

Aus ihr liest du den Graphen direkt ab: Scheitel $S(u|v)$, Öffnung nach oben ($a > 0$) oder unten ($a < 0$), steiler oder flacher als die Normalparabel je nach $|a|$.

Kurz geprüft

Aufgaben

1. Skizziere ohne Wertetabelle: a) $y = (x-3)^2$ b) $y = x^2 - 2$ c) $y = -\frac{1}{2}(x+1)^2 + 3$
2. Gib die Gleichung der Parabel an mit Scheitel $S(4|-2)$, nach oben geöffnet, Normalform ($a=1$).
3. Eine nach unten geöffnete Parabel hat den Scheitel $S(0|5)$ und geht durch $P(1|3)$. Bestimme $a$.