Quadratische Ergänzung und Nullstellen

Lernziele

• Du kannst die allgemeine Form $y = ax^2 + bx + c$ mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelform bringen.
• Du kannst die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen.
• Du weisst, was die Diskriminante über die Anzahl Nullstellen verrät.

Zwei Gesichter derselben Funktion

Quadratische Funktionen begegnen dir in zwei Formen:

$\underbrace{y = x^2 - 6x + 5}_{\text{allgemeine Form}} \qquad \qquad \underbrace{y = (x-3)^2 - 4}_{\text{Scheitelform}}$

Beide beschreiben dieselbe Parabel (multipliziere die Scheitelform aus und prüfe es!). Jede Form hat ihre Stärke: Die Scheitelform zeigt den Scheitel, die allgemeine Form entsteht meist beim Aufstellen der Funktion. Wir brauchen einen Weg von der allgemeinen zur Scheitelform.

Die quadratische Ergänzung

Die Idee: Wir «erzwingen» eine binomische Formel. Bei $x^2 - 6x + 5$ fehlt zum Binom $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$ genau die $9$. Also addieren wir sie — und ziehen sie sofort wieder ab, damit sich nichts ändert:

$y = x^2 - 6x + 5 = \underbrace{x^2 - 6x + 9}_{(x-3)^2} - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

Der Scheitel liegt bei $S(3|-4)$.

Das Rezept: Halbiere den Koeffizienten von $x$ (hier $-6 \to -3$), quadriere ihn (→ $9$), ergänze und kompensiere.

Noch ein Beispiel, mit Faktor davor

$y = 2x^2 + 8x + 3 = 2(x^2 + 4x) + 3 = 2\big((x+2)^2 - 4\big) + 3 = 2(x+2)^2 - 5$Bei $a \ne 1$: zuerst $a$ aus den $x$-Termen ausklammern, dann ergänzen. Scheitel: $S(-2|-5)$.

Nullstellen

Nullstellen sind die $x$-Werte, an denen der Graph die $x$-Achse schneidet, also die Lösungen von $ax^2 + bx + c = 0$. Dafür kennst du die Lösungsformel:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Beispiel: $x^2 - 6x + 5 = 0$

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \qquad \Rightarrow \qquad x_1 = 5,\quad x_2 = 1$

Nullstellen bei x = 1 und x = 5, Scheitel genau in der Mitte

Beachte die Symmetrie: Der Scheitel liegt genau zwischen den Nullstellen, bei $x = \frac{1+5}{2} = 3$.

Die Diskriminante

Der Ausdruck unter der Wurzel, $D = b^2 - 4ac$, heisst Diskriminante und entscheidet, wie oft die Parabel die $x$-Achse trifft:

Diskriminante	Nullstellen	Bild
$D > 0$	zwei	Parabel schneidet die Achse zweimal
$D = 0$	genau eine	Scheitel liegt auf der Achse
$D < 0$	keine	Parabel schwebt über oder unter der Achse

Kurz geprüft

Aufgaben

1. Bringe in die Scheitelform und gib den Scheitel an: a) $y = x^2 + 4x + 1$ b) $y = x^2 - 10x + 25$ c) $y = 3x^2 - 6x + 5$
2. Berechne die Nullstellen: a) $y = x^2 - x - 6$ b) $y = 2x^2 - 8x + 8$ c) $y = x^2 + x + 1$
3. Für welche Werte von $c$ hat $y = x^2 + 6x + c$ genau eine Nullstelle?