Der Koeffizient c und die Scheitelpunktform

1.5 Der Koeffizient c

Beispiel

Unten sehen Sie drei Funktionen:

$$\begin{aligned} \textcolor{#1c7ed6}{f(x)} &\textcolor{#1c7ed6}{{}=x^2-4} \\[6pt] \textcolor{#e8590c}{g(x)} &\textcolor{#e8590c}{{}=x^2} \\[6pt] \textcolor{#2f9e44}{h(x)} &\textcolor{#2f9e44}{{}=x^2+2} \end{aligned}$$

Beschreiben und begründen Sie, wie der Koeffizient $c$ die Parabel $f(x)=x^2+c$ verändert. Berechnen Sie die Nullstellen der drei Parabeln. Hat eine Parabel keine Nullstelle, begründen Sie, warum.

Mit den Schiebereglern können Sie $a$ und $c$ selbst verändern oder direkt am Scheitelpunkt ziehen.

1.6 Die Scheitelpunktform

Challenge: Die Parabel zur Seite schieben

Mit $f(x)=x^2+c$ schieben Sie die Normalparabel nach oben und unten. Wer schafft es, die Normalparabel nach links oder rechts zu schieben, z.B. um $3$ nach rechts?

Geben Sie im Plugin unten eigene Funktionen ein (Feld «$f(x)=$», dann «Übernehmen») und lassen Sie jeweils Punkte erscheinen. Notieren Sie, was Sie ausprobiert haben und was dabei passiert ist.

Tipp

Die Normalparabel hat ihren Scheitelpunkt bei $x=0$, denn dort ist $x^2=0$. Nach der Verschiebung um $3$ nach rechts soll der Scheitelpunkt bei $x=3$ liegen. Für welches $x$ soll Ihr Term jetzt $0$ ergeben?

Die Scheitelpunktform

Die Parabel mit der Gleichung

$$f(x)=\textcolor{orange}{a}\,(x-\textcolor{mediumseagreen}{u})^2+\textcolor{dodgerblue}{v}$$

hat den Scheitelpunkt $S(\textcolor{mediumseagreen}{u}\,|\,\textcolor{dodgerblue}{v})$. Sie entsteht aus der Parabel $f(x)=\textcolor{orange}{a}x^2$ durch eine Verschiebung um $\textcolor{mediumseagreen}{u}$ nach rechts und $\textcolor{dodgerblue}{v}$ nach oben (Vektor $\binom{\textcolor{mediumseagreen}{u}}{\textcolor{dodgerblue}{v}}$). Der Faktor $\textcolor{orange}{a}$ bestimmt wie bisher Öffnung und Form.

Den Verschiebungsvektor lesen Sie so: Die obere Zahl gibt die Verschiebung in $x$-Richtung an (positiv: nach rechts), die untere die Verschiebung in $y$-Richtung (positiv: nach oben). Zum Beispiel heisst $\binom{1}{-2}$: um $1$ nach rechts und um $2$ nach unten.

Achtung beim Vorzeichen: In $f(x)=(x+3)^2$ ist $\textcolor{mediumseagreen}{u}=-3$, denn $x+3=x-(\textcolor{mediumseagreen}{-3})$. Die Parabel ist also um $3$ nach links verschoben.

Probieren Sie es aus: Ziehen Sie am Scheitelpunkt und beobachten Sie, wie sich $u$ und $v$ in der Gleichung ändern.

Beispiel

Geben Sie den Scheitelpunkt an und zeichnen Sie die Funktion ohne Wertetabelle:

a) $f(x)=3(x-2)^2+4$   b) $g(x)=\frac12(x+3)^2-2$

Berechnen Sie die Nullstellen von $g$ und schreiben Sie $g$ in der Form $g(x)=ax^2+bx+c$.

1.7 Aufgaben

Aufgaben

1. Im Parabel-Labor unten sind die sechs Funktionen

$$\begin{aligned} \textcolor{#1c7ed6}{\text{a)}\quad f(x)} &\textcolor{#1c7ed6}{{}=x^2-1} & \qquad \textcolor{#ae3ec9}{\text{d)}\quad f(x)} &\textcolor{#ae3ec9}{{}=-\tfrac12x^2+4.5} \\[6pt] \textcolor{#e8590c}{\text{b)}\quad f(x)} &\textcolor{#e8590c}{{}=x^2-5} & \qquad \textcolor{#c92a2a}{\text{e)}\quad f(x)} &\textcolor{#c92a2a}{{}=-\tfrac14x^2+1} \\[6pt] \textcolor{#2f9e44}{\text{c)}\quad f(x)} &\textcolor{#2f9e44}{{}=x^2+3} & \qquad \textcolor{#0b7285}{\text{f)}\quad f(x)} &\textcolor{#0b7285}{{}=-\tfrac14x^2-2} \end{aligned}$$

gezeichnet. Mit den Schaltflächen unter dem Bild blenden Sie einzelne Parabeln ein und aus. Beschreiben Sie, was Sie sehen: Geben Sie jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes $S$ an und berechnen Sie die Nullstellen (falls es welche gibt). Kontrollieren Sie erst danach mit dem Häkchen «Scheitelpunkt und Nullstellen».

g) Was bewirkt der Koeffizient $c$ geometrisch für die Parabeln der Schar $f(x)=ax^2+c$? Begründen Sie.

Aufgaben

2. Zeichnen Sie die Funktionen ohne Wertetabelle in ein gemeinsames Koordinatensystem. Geben Sie jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes $S$ sowie die Nullstellen an.

a) $f(x)=(x-3)^2$   b) $f(x)=(x+4)^2+2$   c) $f(x)=-(x+1)^2$

Aufgaben

3. Zeichnen Sie die Funktionen ohne Wertetabelle in ein gemeinsames Koordinatensystem. Geben Sie jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes $S$ sowie die Nullstellen an.

a) $f(x)=\frac12(x-1)^2-2$   b) $f(x)=\frac14(x+5)^2-1$   c) $f(x)=-\frac13(x-1)^2+3$

Aufgaben

4. Skizzieren Sie den Graphen der Normalparabel. Wie muss die Funktionsgleichung abgeändert werden, wenn der Graph

a) um $3$ Einheiten in $x$-Richtung verschoben werden soll?

b) um $-2.5$ Einheiten in $y$-Richtung verschoben werden soll?

c) um $-1$ Einheit in $x$- und um $4$ Einheiten in $y$-Richtung verschoben werden soll?

d) um $5$ Einheiten in $x$- und um $-\frac34$ Einheiten in $y$-Richtung verschoben werden soll?

Positive Werte bedeuten nach rechts bzw. nach oben, negative nach links bzw. nach unten. Skizzieren Sie jeweils auch die verschobene Parabel.

Aufgaben

5. Die Parabel mit der angegebenen Gleichung wird um $3$ Einheiten nach rechts verschoben. Notieren Sie die Gleichung der verschobenen Parabel in der Form $f(x)=ax^2+bx+c$.

a) $f(x)=x^2$   b) $f(x)=2x^2$   c) $f(x)=-x^2$   d) $f(x)=-\frac12x^2$

Aufgaben

6. Die Parabel mit der vorgegebenen Gleichung wird um $1$ nach rechts und $2$ nach unten verschoben (Vektor $\binom{1}{-2}$). Notieren Sie die Gleichung der verschobenen Parabel in der Form $f(x)=ax^2+bx+c$ und berechnen Sie auch die Nullstellen der verschobenen Parabel.

a) $f(x)=x^2$   b) $f(x)=2x^2$   c) $f(x)=-x^2$   d) $f(x)=-\frac12x^2$

Aufgaben

7. Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=\frac12x^2$ wird verschoben. Notieren Sie die Gleichung der verschobenen Parabel in der Form $f(x)=ax^2+bx+c$.

a) um $2$ nach rechts (Vektor $\binom{2}{0}$)   b) um $3$ nach unten (Vektor $\binom{0}{-3}$)

c) um $2$ nach links und $5$ nach oben (Vektor $\binom{-2}{5}$)   d) um $4$ nach rechts und $1$ nach unten (Vektor $\binom{4}{-1}$)

Zusatzaufgaben

8. Zeichnen Sie die Funktionen ohne Wertetabelle in zwei Koordinatensysteme: a) bis c) ins erste, d) bis f) ins zweite. Geben Sie jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes $S$ sowie die Nullstellen an.

a) $f(x)=(x+4)^2$   b) $f(x)=x^2-4x+4$   c) $f(x)=(x-2)^2-4$

d) $f(x)=\frac12(x-3)^2$   e) $f(x)=\left(x+\frac12\right)^2-\frac94$   f) $f(x)=-\left(x+\frac32\right)^2-1$

9. Die Normalparabel mit der Gleichung $f(x)=x^2$ wird verschoben. Notieren Sie die Gleichung der verschobenen Parabel in der Form $f(x)=ax^2+bx+c$ und berechnen Sie die Nullstellen der verschobenen Parabel.

a) um $2$ nach links (Vektor $\binom{-2}{0}$)   b) um $4$ nach unten (Vektor $\binom{0}{-4}$)

c) um $3$ nach rechts und $1$ nach oben (Vektor $\binom{3}{1}$)   d) um $2$ nach rechts und $9$ nach unten (Vektor $\binom{2}{-9}$)