Übungen: Anwendungen

Lernziele

• Sie modellieren Sachsituationen mit quadratischen Funktionen.
• Sie bestimmen Maxima und Minima über den Scheitel und interpretieren Nullstellen im Sachzusammenhang.

Erinnerung: das Rezept

1. Variable wählen und hinschreiben, wofür sie steht. 2. Zielgrösse als Funktion aufstellen. 3. Scheitel bestimmen (quadratische Ergänzung oder Mitte der Nullstellen). 4. Antwortsatz mit Einheiten, Plausibilität prüfen.

1 Zaun und Fläche

Aufgaben

1. Mit 36 m Zaun soll an einer Mauer ein rechteckiges Gehege eingezäunt werden (an der Mauer braucht es keinen Zaun). Welche Masse ergeben die grösste Fläche? Wie gross ist sie?
2. Ein Bauer hat 120 m Zaun. Er will ein rechteckiges Feld einzäunen und es mit einem zusätzlichen Zaun parallel zu einer Seite in zwei gleich grosse Teile trennen. Welche Masse maximieren die Gesamtfläche?
3. ⭐ In ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 cm (waagrecht) und 8 cm (senkrecht) wird ein Rechteck gelegt: zwei Seiten liegen auf den Katheten, eine Ecke auf der Hypotenuse. Wie gross kann das Rechteck höchstens werden? Tipp: Legen Sie das Dreieck in ein Koordinatensystem, die Hypotenuse ist dann eine Gerade.

2 Wurfparabeln

Kurz geprüft

Aufgaben

4. Ein Ball wird vom Boden senkrecht hochgeworfen. Seine Höhe ist $h(t) = -5t^2 + 20t$ ($t$ in s, $h$ in m).

a) Wann erreicht er die maximale Höhe, und wie hoch ist sie?

b) Wann landet er wieder?

c) Wann ist er genau 15 m hoch?

5. Ein Wasserstrahl aus einem Gartenschlauch folgt $h(x) = -0.25x^2 + 2x + 1$ ($x$ horizontale Distanz in m, $h$ Höhe in m).

a) Wie hoch und in welcher Distanz ist der höchste Punkt?

b) Wie weit spritzt der Strahl? (Lösungsformel, auf cm runden)

6. ⭐ Ein Basketball verlässt die Hand in 2 m Höhe. Nach 4 m horizontaler Distanz erreicht er seinen höchsten Punkt auf 4.4 m Höhe. Der Korb hängt in 3.05 m Höhe und ist 7 m (horizontal) von der Abwurfstelle entfernt. Trifft der Wurf? Tipp: Legen Sie den Abwurf bei $x = 0$ fest.

3 Gewinn und Erlös

Aufgaben

7. Eine Firma macht beim Verkauf von $x$ Stück den Gewinn $G(x) = -2x^2 + 120x - 1000$ (in Fr.).

a) Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn maximal, und wie gross ist er?

b) In welchem Bereich macht die Firma überhaupt Gewinn?

8. Ein Veloverleih vermietet bei einem Tagespreis von 30 Fr. alle 60 Velos. Pro Franken Preiserhöhung wird ein Velo weniger gemietet. Bei welchem Preis sind die Einnahmen maximal? Wie hoch sind sie dann?

9. ⭐ Für ein Produkt gilt: Kosten $K(x) = x^2 + 10x + 300$, Verkaufspreis 50 Fr. pro Stück, also Erlös $E(x) = 50x$.

a) Berechnen Sie die Gewinnschwellen (dort, wo sich die Graphen von $E$ und $K$ schneiden).

b) Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn $G(x) = E(x) - K(x)$ maximal?

4 Knobeleien ⭐

Aufgaben

10. ⭐ Zwei Zahlen unterscheiden sich um 8. Für welche Zahlen ist ihr Produkt möglichst klein? Wie klein?

11. ⭐ Ein Rechteck hat den Umfang 20 cm. Für welche Seitenlängen ist seine Diagonale am kürzesten? Tipp: Wenn die Diagonale $d$ minimal ist, ist auch $d^2$ minimal – und $d^2$ ist eine quadratische Funktion.

Lösungen

1. $A(x) = x(36-2x)$; $9 \text{ m} \times 18 \text{ m}$, $162 \text{ m}^2$
2. $3x + 2y = 120$; $x = 20$ m, $y = 30$ m, $600 \text{ m}^2$
3. $A(x) = x(8 - \frac{4}{3}x)$; $3 \text{ cm} \times 4 \text{ cm}$, $12 \text{ cm}^2$
4. a) nach 2 s, 20 m b) nach 4 s c) nach 1 s und 3 s
5. a) $(4|5)$: nach 4 m, 5 m hoch b) $4 + 2\sqrt{5} \approx 8.47$ m
6. $h(x) = -0.15(x-4)^2 + 4.4$; $h(7) = 3.05$: Treffer
7. a) 30 Stück, 800 Fr. b) zwischen 10 und 50 Stück
8. $E(x) = (30+x)(60-x)$; Preis 45 Fr., Einnahmen 2'025 Fr.
9. a) 10 und 30 Stück b) 20 Stück, Gewinn 100 Fr.
10. $4$ und $-4$, Produkt $-16$
11. Quadrat $5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm}$, $d = 5\sqrt{2} \approx 7.07$ cm