Übungen: Formen und Nullstellen

Lernziele

• Sie wechseln sicher zwischen allgemeiner Form, Scheitelform und Nullstellenform.
• Sie bestimmen Nullstellen durch Faktorisieren oder mit der Lösungsformel.
• Sie entscheiden mit der Diskriminante, wie viele Nullstellen es gibt.

Drei Formen derselben Parabel

Neben der allgemeinen Form (auch Normalform genannt) und der Scheitelform gibt es eine dritte nützliche Schreibweise, die Nullstellenform (auch faktorisierte Form):

$\underbrace{y = x^2 - 6x + 5}_{\text{allgemeine Form}} \qquad \underbrace{y = (x-3)^2 - 4}_{\text{Scheitelform}} \qquad \underbrace{y = (x-1)(x-5)}_{\text{Nullstellenform}}$

Aus $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ lesen Sie die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ direkt ab: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.

Faktorisieren mit Vieta

Bei $x^2 + bx + c$ suchen Sie zwei Zahlen mit Produkt $c$ und Summe $b$. Beispiel $x^2 - 6x + 5$: Produkt $5$, Summe $-6$ → $-1$ und $-5$, also $(x-1)(x-5)$.

Steht vor $x^2$ ein Faktor $a \ne 1$, klammern Sie ihn zuerst aus.

1 Quadratisch ergänzen

Aufgaben

1. Bringen Sie in die Scheitelform und geben Sie den Scheitel an:

a) $y = x^2 - 8x + 10$   b) $y = x^2 + 2x - 3$   c) $y = x^2 + 5x + 4$

d) $y = 2x^2 - 12x + 13$   e) $y = -x^2 + 4x + 1$   f) ⭐ $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + 2$

2. Multiplizieren Sie aus und geben Sie die allgemeine Form an:

a) $y = (x-3)^2 + 2$   b) $y = -2(x+1)^2 + 8$

2 Faktorisieren und Nullstellenform

Aufgaben

3. Faktorisieren Sie und geben Sie die Nullstellen an:

a) $y = x^2 - 5x + 6$   b) $y = x^2 + x - 12$   c) $y = x^2 - 9$

d) $y = x^2 - 4x$   e) $y = 2x^2 - 2x - 12$   f) $y = x^2 - 10x + 25$

4. Gegeben ist die Nullstellenform. Geben Sie die allgemeine Form und den Scheitel an. Tipp: Der Scheitel liegt genau zwischen den Nullstellen.

a) $y = (x-1)(x-7)$   b) $y = -(x+2)(x-4)$

3 Die Lösungsformel

Aufgaben

5. Berechnen Sie die Nullstellen mit der Lösungsformel $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Geben Sie bei d) die exakte Lösung und gerundete Werte an.

a) $y = x^2 - 2x - 15$   b) $y = 3x^2 - 5x - 2$   c) $y = 4x^2 + 4x + 1$

d) $y = x^2 - 4x + 1$   e) $y = -2x^2 + 3x + 5$

4 Die Diskriminante

Kurz geprüft

Aufgaben

6. Wie viele Nullstellen hat die Parabel? Entscheiden Sie, ohne die Nullstellen auszurechnen.

a) $y = x^2 + 3x + 5$   b) $y = x^2 - 6x + 9$   c) $y = -x^2 + 2x + 3$

d) $y = 2x^2 - x + 3$   e) $y = (x-2)^2 + 1$ (hier geht es sogar ohne Diskriminante)

7. Für welche Werte von $c$ hat $y = x^2 - 4x + c$ a) zwei, b) genau eine, c) keine Nullstelle?

8. ⭐ Für welche Werte von $k$ hat die Funktion $y = kx^2 + 4x + 2$ genau eine Nullstelle? Achtung, es gibt eine Falle.

5 Alles zusammen ⭐

Aufgaben

9. ⭐ Die Parabel $y = x^2 + bx + c$ hat die Nullstellen $3$ und $-5$. Bestimmen Sie $b$, $c$ und den Scheitel.

10. ⭐ Schreiben Sie $y = x^2 + 2x - 8$ in allen drei Formen (allgemein, Scheitelform, Nullstellenform) und skizzieren Sie den Graphen mit Scheitel und Nullstellen.

11. ⭐ Die Parabel $y = 2x^2 + bx + 6$ hat eine Nullstelle bei $x = 1$. Bestimmen Sie $b$ und die zweite Nullstelle.

Lösungen

1. a) $(x-4)^2 - 6$, $S(4|-6)$ b) $(x+1)^2 - 4$, $S(-1|-4)$ c) $(x+2.5)^2 - 2.25$, $S(-2.5|-2.25)$ d) $2(x-3)^2 - 5$, $S(3|-5)$ e) $-(x-2)^2 + 5$, $S(2|5)$ f) $\frac{1}{2}(x+3)^2 - 2.5$, $S(-3|-2.5)$
2. a) $x^2 - 6x + 11$ b) $-2x^2 - 4x + 6$
3. a) $(x-2)(x-3)$: $2, 3$ b) $(x+4)(x-3)$: $-4, 3$ c) $(x-3)(x+3)$: $\pm 3$ d) $x(x-4)$: $0, 4$ e) $2(x-3)(x+2)$: $3, -2$ f) $(x-5)^2$: $5$ (doppelt)
4. a) $x^2 - 8x + 7$, $S(4|-9)$ b) $-x^2 + 2x + 8$, $S(1|9)$
5. a) $5, -3$ b) $2, -\frac{1}{3}$ c) $-\frac{1}{2}$ (doppelt) d) $2 \pm \sqrt{3} \approx 3.73;\ 0.27$ e) $-1;\ 2.5$
6. a) 0 b) 1 c) 2 d) 0 e) 0
7. $D = 16 - 4c$: a) $c < 4$ b) $c = 4$ c) $c > 4$
8. $k = 2$ (und $k = 0$: Gerade mit Nullstelle $-\frac{1}{2}$)
9. $b = 2$, $c = -15$, $S(-1|-16)$
10. $(x+1)^2 - 9$; $(x+4)(x-2)$
11. $b = -8$, zweite Nullstelle $x = 3$