Übungen: Parabeln aufstellen

Lernziele

• Sie wählen je nach gegebenen Informationen den passenden Ansatz.
• Sie stellen Parabelgleichungen aus Scheitel, Nullstellen oder drei Punkten auf.

Welcher Ansatz passt?

Eine Parabel ist durch drei Angaben festgelegt. Je nachdem, was Sie wissen, starten Sie mit einer anderen Form – und setzen dann die übrigen Angaben ein:

Gegeben	Ansatz	Unbekannt
Scheitel $S(u \vert v)$ und ein Punkt	$y = a(x-u)^2 + v$	nur $a$
Nullstellen $x_1, x_2$ und ein Punkt	$y = a(x-x_1)(x-x_2)$	nur $a$
drei beliebige Punkte	$y = ax^2 + bx + c$	$a, b, c$ (Gleichungssystem)

Beispiel: drei Punkte

Gesucht ist die Parabel durch $A(\textcolor{dodgerblue}{0}\,|\,\textcolor{orange}{3})$, $B(\textcolor{dodgerblue}{1}\,|\,\textcolor{orange}{2})$, $C(\textcolor{dodgerblue}{3}\,|\,\textcolor{orange}{6})$. Wir setzen jeweils die $x$-Koordinate für $\textcolor{dodgerblue}{x}$ und die $y$-Koordinate für $\textcolor{orange}{y}$ ein:

$$\begin{aligned} \textcolor{orange}{y} &= a\cdot\textcolor{dodgerblue}{x}^2 + b\cdot\textcolor{dodgerblue}{x} + c \\[6pt] A:\quad \textcolor{orange}{3} &= a\cdot\textcolor{dodgerblue}{0}^2 + b\cdot\textcolor{dodgerblue}{0} + c \\[4pt] B:\quad \textcolor{orange}{2} &= a\cdot\textcolor{dodgerblue}{1}^2 + b\cdot\textcolor{dodgerblue}{1} + c \\[4pt] C:\quad \textcolor{orange}{6} &= a\cdot\textcolor{dodgerblue}{3}^2 + b\cdot\textcolor{dodgerblue}{3} + c \end{aligned}$$

Aus $A$: $c = 3$. Damit aus $B$: $a + b = -1$, aus $C$: $9a + 3b = 3$, also $3a + b = 1$. Subtrahieren: $2a = 2$, also $a = 1$, $b = -2$. Ergebnis: $y = x^2 - 2x + 3$.

Tipp: Ein Punkt auf der $y$-Achse liefert Ihnen $c$ geschenkt.

1 Aus Scheitel und Punkt

Aufgaben

1. Bestimmen Sie die Gleichung in Scheitelform und in allgemeiner Form:

a) Scheitel $S(2|-3)$, Punkt $P(4|5)$

b) Scheitel $S(-1|4)$, Punkt $P(1|-4)$

c) Scheitel $S(0|-2)$, Punkt $P(2|0)$

d) Scheitel $S(3|0)$, $y$-Achsenabschnitt $-3$

2 Aus Nullstellen und Punkt

Aufgaben

2. Bestimmen Sie die Gleichung in Nullstellenform und in allgemeiner Form:

a) Nullstellen $1$ und $5$, Punkt $P(3|-8)$

b) Nullstellen $-2$ und $4$, $y$-Achsenabschnitt $4$

c) einzige (doppelte) Nullstelle bei $x = 3$, Punkt $P(1|2)$

3. Bestimmen Sie die Gleichung der abgebildeten Parabel. Die markierten Punkte liegen auf Gitterpunkten.

Zu Aufgabe 3

3 Aus drei Punkten

Kurz geprüft

Aufgaben

4. Bestimmen Sie die Parabel $y = ax^2 + bx + c$ durch die drei Punkte:

a) $A(0|1)$, $B(1|0)$, $C(2|3)$

b) $A(-1|6)$, $B(1|2)$, $C(2|3)$

c) ⭐ $A(1|4)$, $B(3|4)$, $C(4|1)$ (Tipp: Schauen Sie sich $A$ und $B$ genau an – es geht auch ohne Gleichungssystem.)

5. Durch die drei markierten Punkte geht eine Parabel. Bestimmen Sie ihre Gleichung und skizzieren Sie sie ins Koordinatensystem.

Zu Aufgabe 5

4 Knobeleien ⭐

Aufgaben

6. ⭐ Eine Parabel hat ihren Scheitel auf der $y$-Achse und geht durch $P(2|1)$ und $Q(4|7)$. Bestimmen Sie ihre Gleichung.

7. ⭐ Eine Normalparabel ($a = 1$) geht durch $P(0|3)$ und $Q(4|-5)$. Bestimmen Sie die Gleichung und den Scheitel.

8. ⭐ Ein parabelförmiger Brückenbogen ist am Boden 40 m breit und in der Mitte 10 m hoch. Legen Sie ein geschicktes Koordinatensystem fest, stellen Sie die Gleichung auf und berechnen Sie, wie hoch der Bogen 10 m von der Mitte entfernt ist.

9. ⭐ Eine Parabel berührt die $x$-Achse bei $x = 2$ und schneidet die $y$-Achse bei $-8$. Bestimmen Sie ihre Gleichung in allgemeiner Form.

Lösungen

1. a) $2(x-2)^2 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$ b) $-2(x+1)^2 + 4 = -2x^2 - 4x + 2$ c) $\frac{1}{2}x^2 - 2$ d) $-\frac{1}{3}(x-3)^2 = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 3$
2. a) $2(x-1)(x-5) = 2x^2 - 12x + 10$ b) $-\frac{1}{2}(x+2)(x-4) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$ c) $\frac{1}{2}(x-3)^2 = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4.5$
3. $y = -\frac{1}{2}(x+1)(x-3) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1.5$
4. a) $y = 2x^2 - 3x + 1$ b) $y = x^2 - 2x + 3$ c) $y = -(x-2)^2 + 5 = -x^2 + 4x + 1$
5. $y = x^2 + 1$
6. $y = \frac{1}{2}x^2 - 1$
7. $y = x^2 - 6x + 3$, $S(3|-6)$
8. $y = -\frac{1}{40}x^2 + 10$; Höhe 7.5 m
9. $y = -2x^2 + 8x - 8$