Übungen: Schnittpunkte

Lernziele

• Sie berechnen die Schnittpunkte von Parabel und Gerade sowie von zwei Parabeln.
• Sie entscheiden mit der Diskriminante, ob eine Gerade die Parabel schneidet, berührt oder verfehlt.

Gleichsetzen

Ein Schnittpunkt liegt auf beiden Graphen, hat also für beide Funktionen denselben $y$-Wert. Darum setzen Sie die Funktionsterme gleich.

Beispiel: Parabel $\textcolor{blue}{y = x^2 - 2x - 1}$ und Gerade $\textcolor{red}{y = x + 3}$.

$x^2 - 2x - 1 = x + 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 3x - 4 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-4)(x+1) = 0$

Also $x_1 = \textcolor{dodgerblue}{4}$ und $x_2 = \textcolor{dodgerblue}{-1}$. Die $y$-Werte holen Sie aus der (einfacheren) Geradengleichung, indem Sie diese $x$-Werte einsetzen:

Die Schnittpunkte sind $P_1(\textcolor{dodgerblue}{4}\,|\,\textcolor{orange}{7})$ und $P_2(\textcolor{dodgerblue}{-1}\,|\,\textcolor{orange}{2})$.

Zwei Schnittpunkte: Die Gerade ist eine Sekante

Wie viele Schnittpunkte?

Nach dem Gleichsetzen und Umformen erhalten Sie eine quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$. Ihre Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ verrät die Lage:

Diskriminante	Schnittpunkte	Die Gerade heisst …
$D > 0$	zwei	Sekante
$D = 0$	genau einer (Berührpunkt)	Tangente
$D < 0$	keiner	Passante

Bei zwei Parabeln gehen Sie genau gleich vor. Achtung: Haben beide denselben Faktor vor $x^2$, fällt $x^2$ weg und es bleibt eine lineare Gleichung – dann gibt es höchstens einen Schnittpunkt.

1 Parabel und Gerade

Aufgaben

1. Berechnen Sie die Schnittpunkte:

a) $y = x^2$ und $y = x + 2$

b) $y = x^2 - 4x + 5$ und $y = 2x - 3$

c) $y = -x^2 + 4$ und $y = -2x + 1$

2. Ist die Gerade eine Sekante, Tangente oder Passante? Geben Sie allfällige Schnitt- bzw. Berührpunkte an.

a) $y = x^2 + 1$ und $y = 2x$

b) $y = x^2 - x$ und $y = x - 3$

c) $y = 2x^2 - 3x + 1$ und $y = x + 1$

2 Grafisch und rechnerisch

Aufgaben

3. Im ersten Koordinatensystem sehen Sie die Parabel $\textcolor{blue}{y = (x-1)^2 - 2}$ und die Gerade $\textcolor{red}{y = x - 1}$. Lesen Sie die Schnittpunkte ab und bestätigen Sie sie rechnerisch.

4. Im zweiten Koordinatensystem ist die Parabel $\textcolor{blue}{y = x^2 - 4}$ eingezeichnet. Zeichnen Sie die Gerade $y = -x + 2$ ein, lesen Sie die Schnittpunkte ab und prüfen Sie sie rechnerisch.

Zu Aufgabe 3 Zu Aufgabe 4: Zeichnen Sie die Gerade ein

3 Zwei Parabeln

Kurz geprüft

Aufgaben

5. Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln:

a) $y = x^2 - 3$ und $y = -x^2 + 5$

b) $y = x^2 + 2x$ und $y = 2x^2 - x - 4$

c) $y = x^2 + 4x + 1$ und $y = x^2 - 2x + 7$

6. Zeigen Sie, dass sich die Parabeln $y = (x-1)^2$ und $y = -(x-3)^2 + 2$ in genau einem Punkt berühren, und geben Sie ihn an.

4 Mit Parametern ⭐

Aufgaben

7. ⭐ Für welche Steigungen $m$ ist die Ursprungsgerade $y = mx$ eine Tangente an die Parabel $y = x^2 + 1$? Geben Sie die Berührpunkte an.

8. ⭐ Für welches $q$ ist die Gerade $y = 2x + q$ eine Tangente an die Normalparabel $y = x^2$? Wo berührt sie?

9. ⭐ Für welche Werte von $q$ schneidet die Gerade $y = x + q$ die Parabel $y = x^2 - 3x$ in zwei Punkten?

10. ⭐ Die Parabeln $y = x^2$ und $y = -x^2 + 4x$ schneiden sich in zwei Punkten. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch diese beiden Punkte.

Lösungen

1. a) $(2|4)$, $(-1|1)$ b) $(2|1)$, $(4|5)$ c) $(3|-5)$, $(-1|3)$
2. a) Tangente, $(1|2)$ b) Passante ($D = -8$) c) Sekante, $(0|1)$, $(2|3)$
3. $(0|-1)$, $(3|2)$
4. $(2|0)$, $(-3|5)$
5. a) $(2|1)$, $(-2|1)$ b) $(4|24)$, $(-1|-1)$ c) nur $(1|6)$
6. $(x-2)^2 = 0$, Berührpunkt $(2|1)$
7. $m = \pm 2$; Berührpunkte $(1|2)$ bzw. $(-1|2)$
8. $q = -1$, Berührpunkt $(1|1)$
9. $q > -4$
10. Schnittpunkte $(0|0)$, $(2|4)$; Gerade $y = 2x$