Gleichungen & Ungleichungen lösen

Eine Gleichung lösen heisst: die Unbekannte durch erlaubte Umformungen freilegen. Erlaubt ist alles, was die Lösungsmenge nicht verändert — auf beiden Seiten dasselbe addieren, subtrahieren, mit derselben Zahl $\neq 0$ multiplizieren oder dividieren. Bei drei Typen lauert je eine spezifische Falle; die schauen wir uns genau an.

Lineare Gleichungen

Alles mit $x$ auf eine Seite, den Rest auf die andere.

Musterbeispiel. $\;3(x - 2) = 5x + 4 \;\Rightarrow\; 3x - 6 = 5x + 4 \;\Rightarrow\; -10 = 2x \;\Rightarrow\; x = -5$

Quadratische Gleichungen

Bring alles auf die Form $ax^2 + bx + c = 0$. Wenn Faktorisieren (siehe [[Termumformungen]]) nicht sofort klappt, hilft die Lösungsformel:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante $D = b^2 - 4ac$, entscheidet über die Anzahl Lösungen:

• $D > 0$: zwei Lösungen — die Parabel schneidet die $x$-Achse zweimal.
• $D = 0$: eine Lösung — die Parabel berührt die Achse.
• $D < 0$: keine reelle Lösung — die Parabel liegt ganz über (oder unter) der Achse.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 5, 400)
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.8)
plt.plot(x, x**2 - 4*x + 3, label='D > 0  (zwei Lösungen)')
plt.plot(x, x**2 - 4*x + 4, label='D = 0  (eine Lösung)')
plt.plot(x, x**2 - 4*x + 5, label='D < 0  (keine Lösung)')
plt.legend(); plt.grid(True, alpha=0.3); plt.ylim(-2, 6)
plt.title('Die Diskriminante zählt die Nullstellen')
plt.show()

Musterbeispiel. $\;2x^2 - 4x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 2x - 3 = 0$. Hier faktorisiert es sofort: $(x - 3)(x + 1) = 0$, also $x = 3$ oder $x = -1$.

Bruchgleichungen — zuerst die Definitionsmenge

Steht $x$ im Nenner, ist jede Zahl verboten, die einen Nenner null macht. Notiere die Definitionsmenge, bevor du rechnest, sonst schleicht sich eine Scheinlösung ein.

Musterbeispiel. $\;\dfrac{2}{x - 3} = 1$, Definitionsmenge $x \neq 3$.

Mit $(x-3)$ multiplizieren: $\;2 = x - 3 \;\Rightarrow\; x = 5$. Erlaubt (denn $5 \neq 3$), also $x = 5$.

Wurzelgleichungen — immer die Probe machen

Beim Quadrieren können Scheinlösungen entstehen, weil $\sqrt{\;}$ nie negativ ist. Darum: quadrieren, lösen, und jede Lösung einsetzen.

Musterbeispiel. $\;\sqrt{x + 2} = x \;\Rightarrow\; x + 2 = x^2 \;\Rightarrow\; x^2 - x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+1) = 0$

Kandidaten $x = 2$ und $x = -1$. Probe: $\sqrt{2+2} = 2$ ✓, aber $\sqrt{-1+2} = 1 \neq -1$ ✗. Lösung: nur $x = 2$.

Beträge

$|A| = c$ (mit $c \ge 0$) bedeutet $A = c$ oder $A = -c$.

Musterbeispiel. $\;|x - 3| = 5 \;\Rightarrow\; x - 3 = 5 \text{ oder } x - 3 = -5 \;\Rightarrow\; x = 8 \text{ oder } x = -2$

Ungleichungen — Vorsicht beim Vorzeichen

Alles wie bei Gleichungen — mit einer Ausnahme: multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Musterbeispiel. $\;-2x < 6 \;\Rightarrow\; x > -3$ (durch $-2$ geteilt, Zeichen gedreht).

Bei quadratischen Ungleichungen hilft die faktorisierte Form plus eine Vorzeichenüberlegung: $x^2 - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3) > 0$. Ein Produkt ist positiv, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben — das trifft für $x < 2$ und für $x > 3$ zu.

Übung 1

a) $\;3(x - 2) = 5x + 4$

b) $\;x^2 - 2x - 8 = 0$

c) $\;\dfrac{4}{x + 1} = 2$ (mit Definitionsmenge)

d) $\;\sqrt{2x + 1} = x - 1$ (Probe nicht vergessen!)

e) $\;5 - 2x \ge 11$

f) $\;|2x + 1| = 7$

Das nimmst du mit

• Quadratisch: Diskriminante $b^2 - 4ac$ zählt die Lösungen ($>0$: zwei, $=0$: eine, $<0$: keine).
• Bruchgleichung: zuerst die Definitionsmenge notieren.
• Wurzelgleichung: nach dem Quadrieren immer die Probe machen.
• Ungleichung: Mal/geteilt durch negativ $\Rightarrow$ Zeichen dreht.