Termumformungen

Bevor wir Gleichungen lösen, Kurven diskutieren oder integrieren, brauchen wir ein Handwerk: einen Term geschickt umschreiben, ohne seinen Wert zu ändern. Das ist keine Fleissübung, sondern die Sprache, in der später alles andere geschrieben ist. Wer hier flüssig wird, spart sich in jedem folgenden Kapitel das Stolpern.

So liest du dieses Kapitel

Rechne jedes Musterbeispiel zuerst selbst auf dem karierten Feld, bevor du weiterliest. Verstehen entsteht beim Tun, nicht beim Zuschauen.

Klammern auflösen

Im Grunde gibt es nur eine Regel, das Distributivgesetz $a\,(b + c) = ab + ac$ — jeder Summand der Klammer wird einzeln multipliziert. Alles andere ist ein Spezialfall davon.

Warum dreht ein Minus vor der Klammer jedes Vorzeichen um? Weil «$-$» nichts anderes ist als «$\cdot(-1)$», und das Distributivgesetz verteilt diese $-1$ auf beide Summanden: $-(b - c) = (-1)\cdot b + (-1)\cdot(-c) = -b + c$. Es ist also kein Sonderfall zum Merken, sondern dieselbe Regel. Genau hier passieren die meisten Fehler — nicht aus Schwierigkeit, sondern aus Flüchtigkeit.

Musterbeispiel. $(3a - 2)(a + 4)$: jeder Summand der ersten Klammer mal jeder der zweiten.

$(3a - 2)(a + 4) = 3a^2 + 12a - 2a - 8 = 3a^2 + 10a - 8$

Musterbeispiel (Minusklammer). $5x - (2x - 7) = 5x - 2x + 7 = 3x + 7$

Übung 1

Multipliziere aus und fasse zusammen:

a) $2(3x - 4) - (x - 5)$

b) $(x + 2)(x - 5)$

c) $(2a - b)(a + 3b)$

Binomische Formeln

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Das sind keine neuen Regeln, sondern nur das ausmultiplizierte Ergebnis von $(a+b)(a+b)$ usw. — das Mittelglied $2ab$ entsteht, weil beim Ausmultiplizieren $ab$ zweimal vorkommt ($a\cdot b$ und $b\cdot a$). Warum lohnt es sich trotzdem, sie auswendig zu kennen? Wegen der Rückwärtsrichtung: Wer in $9x^2 - 24x + 16$ sofort $(3x - 4)^2$ erkennt, spart sich später die Lösungsformel. Das Auswendigkennen dient dem Wiedererkennen, nicht dem Ausrechnen.

Musterbeispiel (vorwärts). $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2\cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$

Musterbeispiel (rückwärts). $9x^2 - 24x + 16$: Sind $9x^2 = (3x)^2$ und $16 = 4^2$ Quadrate, und passt das Mittelglied $2\cdot 3x\cdot 4 = 24x$? Ja — also $9x^2 - 24x + 16 = (3x - 4)^2$.

Übung 2

a) $(3x - 2)^2$ ausmultiplizieren

b) $(x + 7)(x - 7)$ ausmultiplizieren

c) $25x^2 + 20x + 4$ faktorisieren

d) $16 - 9y^2$ faktorisieren

Faktorisieren

Faktorisieren heisst: eine Summe als Produkt schreiben. Warum ist das so wertvoll? Wegen einer einzigen, mächtigen Eigenschaft des Produkts: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Deshalb verrät die faktorisierte Form die Nullstellen direkt — und deshalb ist Faktorisieren der Schlüssel zum Lösen von Gleichungen und zum Kürzen von Brüchen. Vier Methoden, in dieser Reihenfolge durchprobieren:

1. Gemeinsamen Faktor ausklammern — immer zuerst, weil es den Term am stärksten vereinfacht. $12x^3 - 8x^2 = 4x^2(3x - 2)$
2. Gruppieren (bei vier Termen): je zwei zusammenfassen, bis ein gemeinsamer Klammerfaktor entsteht. $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = x^2(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x^2 + 3)$
3. Zwei-Klammer-Ansatz bei $x^2 + px + q$: suche zwei Zahlen mit Produkt $q$ und Summe $p$. Warum genau die? Weil $(x + m)(x + n) = x^2 + (m+n)x + mn$ — die gesuchten Zahlen sind $m$ und $n$. $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \quad (\text{denn } (-2)\cdot(-3)=6,\ (-2)+(-3)=-5)$
4. Quadratische Ergänzung, wenn nichts davon greift: künstlich zum Quadrat ergänzen und den Zusatz wieder abziehen. $x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Weil die faktorisierte Form die Nullstellen zeigt, wird $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ genau bei $x = 2$ und $x = 3$ null — und genau dort schneidet die Parabel die $x$-Achse:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 5, 400)
y = x**2 - 5*x + 6
plt.axhline(0, color='gray', lw=0.8)
plt.plot(x, y)
plt.plot([2, 3], [0, 0], 'o')          # die Nullstellen
plt.annotate('x = 2', (2, 0), textcoords='offset points', xytext=(-5, 10))
plt.annotate('x = 3', (3, 0), textcoords='offset points', xytext=(-5, 10))
plt.title(r'$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

Übung 3

Faktorisiere so weit wie möglich:

a) $12x^3 - 8x^2$

b) $x^2 - 7x + 12$

c) $2x^2 + 7x + 3$

d) $x^3 - x^2 - 6x$

Das nimmst du mit

• Minus vor der Klammer $= \cdot(-1)$ verteilen $\Rightarrow$ jedes Vorzeichen dreht.
• Binomische Formeln sind ausmultiplizierte Quadrate; ihr Wert liegt im Wiedererkennen.
• Ein Produkt ist null, sobald ein Faktor null ist — darum verrät die faktorisierte Form die Nullstellen.