Wurzeln & Potenzen

Potenzen sind eine Kurzschrift fürs Multiplizieren — und Wurzeln sind nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten. Wer das einmal sieht, muss sich keine getrennten «Wurzelregeln» merken: es sind dieselben Potenzgesetze.

Woher die Potenzgesetze kommen

Man muss sie nicht auswendig lernen — sie folgen alle aus der Bedeutung «$a^n$ heisst: $a$ $n$-mal mit sich multiplizieren». Zählt man die Faktoren, entstehen die Regeln von selbst:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Warum etwa $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$? Weil du zuerst $m$ Faktoren hinschreibst und dann $n$ weitere — zusammen $m + n$ Stück. Und die «Sonderfälle» sind gar keine, sondern erzwungen:

$a^0 = 1 \;(a \neq 0) \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$a^0 = 1$, weil $\frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0$ und ein Ding durch sich selbst ist $1$. Und $a^{-n} = a^{0-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n}$ — der negative Exponent ist einfach die Division.

Musterbeispiel. $\dfrac{6x^5 \cdot x^{-2}}{2x^{-1}} = \dfrac{6}{2} \cdot x^{5 + (-2) - (-1)} = 3x^{4}$

Warum eine Wurzel eine Potenz ist

$\sqrt{a}$ ist die Zahl, die quadriert $a$ ergibt. Welcher Exponent leistet das? Wegen $(a^{1/2})^2 = a^{(1/2)\cdot 2} = a^1 = a$ ist es $\tfrac12$. Also:

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n} \qquad\text{und allgemein}\qquad \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

Damit ist jede Wurzelrechnung nur noch eine Potenzrechnung — es braucht keine eigenen Wurzelregeln. $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} = a^{1/2}\cdot a^{1/2} = a^1 = a$, genau wie es sein muss.

Musterbeispiel. Schreibe als eine Potenz von $x$: $\;\dfrac{\sqrt{x^3}}{\sqrt[4]{x}} = \dfrac{x^{3/2}}{x^{1/4}} = x^{\,3/2 - 1/4} = x^{5/4}$

Nenner rational machen. Warum stört eine Wurzel im Nenner? Sie erschwert das Weiterrechnen und Vergleichen. Erweitern mit derselben Wurzel macht den Nenner ganzzahlig, weil $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3$:

$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

Der Exponent bestimmt die Form der Kurve — je grösser $n$, desto steiler wächst $x^n$ für $x > 1$ und desto flacher für $0 < x < 1$:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2, 400)
for n in [1, 2, 3, 0.5]:
    plt.plot(x, x**n, label=f'y = x^{n}')
plt.axvline(1, color='gray', lw=0.6)
plt.legend(); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.title('Potenzfunktionen: der Exponent formt die Kurve')
plt.show()

Übung 1

a) Vereinfache zu einer Potenz: $\;\dfrac{a^7 \cdot a^{-3}}{a^2}$

b) Vereinfache: $\;(2x^2)^3 \cdot x^{-4}$

c) Schreibe als eine Potenz von $x$: $\;\dfrac{\sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x}}{x}$

d) Mache den Nenner rational: $\;\dfrac{10}{\sqrt{5}}$

Das nimmst du mit

• Die Potenzgesetze folgen aus dem Faktorenzählen — nicht auswendig, sondern verstanden.
• Negativer Exponent = Division, Exponent $0$ = $1$; beides erzwungen, kein Sonderfall.
• Eine Wurzel ist eine Potenz: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$. Wurzel im Nenner? Damit erweitern.