Zahlenmengen & Intervalle

Warum gibt es überhaupt verschiedene Zahlbereiche? Weil jeder neue entsteht, wenn im alten eine Gleichung keine Lösung hat. Genau dieser rote Faden macht die Zahlenmengen logisch statt auswendig.

Von ℕ bis ℝ

• $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ — die natürlichen Zahlen zum Zählen. Aber $x + 5 = 2$ hat hier keine Lösung.
• $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ — die ganzen Zahlen lösen das. Aber $3x = 2$ hat hier keine Lösung.
• $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0 \right\}$ — die Brüche lösen das. Aber $x^2 = 2$ hat hier keine Lösung.
• $\mathbb{R}$ — die reellen Zahlen füllen die Lücken mit den irrationalen Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder $\pi$ (unendliche, nicht-periodische Dezimalzahlen).

Es gilt die Kette $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ — jede Menge steckt in der nächstgrösseren.

Warum ist $\sqrt{2}$ irrational?

Angenommen, $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ wäre ein vollständig gekürzter Bruch. Dann ist $a^2 = 2b^2$, also $a^2$ gerade, also $a$ gerade, also $a = 2c$. Einsetzen: $4c^2 = 2b^2 \Rightarrow b^2 = 2c^2$, also ist auch $b$ gerade. Dann waren $a$ und $b$ beide gerade — Widerspruch zu «vollständig gekürzt». Also lässt sich $\sqrt{2}$ nicht als Bruch schreiben.

Periodische Dezimalzahlen sind rational. Trick: mit einer Zehnerpotenz multiplizieren und subtrahieren. Für $x = 0.\overline{36}$:

$100x = 36.\overline{36}, \quad 100x - x = 36 \;\Rightarrow\; 99x = 36 \;\Rightarrow\; x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$

Intervalle

Ein Intervall ist ein zusammenhängendes Stück der Zahlengeraden. Eckige Klammer = Rand gehört dazu, runde Klammer = Rand gehört nicht dazu:

• $[a, b]$ — geschlossen: $a \le x \le b$
• $(a, b)$ — offen: $a < x < b$
• $[a, b)$ — halboffen: $a \le x < b$
• $(a, \infty)$ — bei $\infty$ steht immer eine runde Klammer (Unendlich ist keine Zahl).

Mengenschreibweise dazu: $[-1, 2) = \{\, x \in \mathbb{R} \mid -1 \le x < 2 \,\}$. So sieht dieses Intervall auf der Zahlengeraden aus — gefüllter Punkt = dabei, offener Punkt = nicht dabei:

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 1.4))
ax.axhline(0, color='black', lw=1)
for t in range(-3, 4):
    ax.plot(t, 0, 'k|', ms=10)
    ax.annotate(str(t), (t, 0), textcoords='offset points', xytext=(-4, -16))
ax.plot([-1, 2], [0, 0], lw=6, alpha=0.35, color='C0')   # das Intervall
ax.plot(-1, 0, 'o', color='C0', ms=10)                    # -1 gehoert dazu
ax.plot(2, 0, 'o', mfc='white', color='C0', ms=10)        # 2 gehoert nicht dazu
ax.set_ylim(-1, 1); ax.axis('off')
ax.set_title('Intervall  [-1, 2)')
plt.show()

Übung 1

a) Ordne jede Zahl der kleinsten passenden Menge zu ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ oder $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$): $\quad -4, \quad \frac{3}{7}, \quad \sqrt{9}, \quad \sqrt{2}, \quad \pi, \quad 0$

b) Schreibe als Intervall: (i) alle $x$ mit $-2 \le x < 5$; (ii) alle $x$ mit $x > 3$.

c) Schreibe $0.\overline{6}$ und $0.\overline{18}$ als vollständig gekürzten Bruch.

Das nimmst du mit

• Jeder Zahlbereich entsteht, weil im kleineren eine Gleichung unlösbar war.
• Irrational = unendliche, nicht-periodische Dezimalzahl; periodische sind rational.
• Eckige Klammer = Rand dabei, runde = Rand weg; bei $\infty$ immer rund.