Betrag, Mittelpunkt, Schwerpunkt

Lernziele

Sie können den Betrag eines Vektors und den Abstand zweier Punkte berechnen, in der Ebene und im Raum.

Sie können den Mittelpunkt einer Strecke und den Schwerpunkt eines Dreiecks mit Ortsvektoren berechnen.

⭐ Sie können Teilpunkte berechnen und einfache geometrische Sätze mit Vektoren beweisen.

Betrag in der Ebene

Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} \textcolor{orange}{v_1} \\ \textcolor{dodgerblue}{v_2} \end{pmatrix}$ geht $\textcolor{orange}{v_1}$ nach rechts und $\textcolor{dodgerblue}{v_2}$ nach oben. Sein Pfeil ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten $\textcolor{orange}{v_1}$ und $\textcolor{dodgerblue}{v_2}$ . Nach Pythagoras gilt:

|\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{orange}{v_1^2} + \textcolor{dodgerblue}{v_2^2}}

Die Komponenten v₁ und v₂ sind die Katheten, der Pfeil von v ist die Hypotenuse.

Beispiel:

\left|\begin{pmatrix} \textcolor{orange}{3} \\ \textcolor{dodgerblue}{-4} \end{pmatrix}\right| = \sqrt{\textcolor{orange}{3}^2 + (\textcolor{dodgerblue}{-4})^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Achten Sie auf die Klammer: $(-4)^2 = 16$ , nicht $-16$ .

Betrag im Raum

Im Raum hat der Vektor drei Komponenten $\vec{v} = \begin{pmatrix} \textcolor{orange}{v_1} \\ \textcolor{dodgerblue}{v_2} \\ \textcolor{mediumseagreen}{v_3} \end{pmatrix}$ . Wir wenden Pythagoras zweimal an.

Erst am Boden zur Bodendiagonale d, dann senkrecht nach oben: zweimal Pythagoras.

Schritt 1: Am Boden (in der $xy$ -Ebene) geht man $\textcolor{orange}{v_1}$ in $x$ -Richtung und $\textcolor{dodgerblue}{v_2}$ in $y$ -Richtung. Die Bodendiagonale $d$ hat die Länge

d^2 = \textcolor{orange}{v_1^2} + \textcolor{dodgerblue}{v_2^2}

Schritt 2: Dann geht es $\textcolor{mediumseagreen}{v_3}$ senkrecht nach oben. Die Bodendiagonale $d$ und die Höhe $\textcolor{mediumseagreen}{v_3}$ bilden wieder ein rechtwinkliges Dreieck:

\begin{aligned} |\vec{v}|^2 &= d^2 + \textcolor{mediumseagreen}{v_3^2} \\[8pt] &= \textcolor{orange}{v_1^2} + \textcolor{dodgerblue}{v_2^2} + \textcolor{mediumseagreen}{v_3^2} \end{aligned}

Betrag eines Vektors

$\left|\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \qquad\qquad \left|\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

Beispiel: $\left|\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Abstand zweier Punkte

Der Abstand der Punkte $A$ und $B$ ist die Länge des Pfeils von $A$ nach $B$ , also $|\vec{AB}|$ .

Beispiel: $A(1|{-2})$ und $B(7|6)$ .

\vec{AB} = \begin{pmatrix} 7 - 1 \\ 6 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}, \qquad |\vec{AB}| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

Einheitsvektor

Ein Vektor mit Betrag $1$ heisst Einheitsvektor. Teilen Sie einen Vektor durch seinen Betrag, erhalten Sie den Einheitsvektor in derselben Richtung:

\vec{v}_0 = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v}

Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$ hat den Betrag $5$ . Also ist $\vec{v}_0 = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ -0{,}8 \end{pmatrix}$ . Kontrolle: $\sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = 1$ .

Mittelpunkt einer Strecke

Wo liegt der Mittelpunkt $M$ der Strecke $AB$ ? Gehen Sie von $O$ nach $A$ und dann den halben Weg von $A$ nach $B$ :

\begin{aligned} \vec{OM} &= \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AB} \\[8pt] &= \vec{OA} + \frac{1}{2}\left(\vec{OB} - \vec{OA}\right) \\[8pt] &= \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB} - \frac{1}{2}\vec{OA} \\[8pt] &= \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB} \end{aligned}

Mittelpunkt

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\left(\vec{OA} + \vec{OB}\right)$
Die Koordinaten des Mittelpunkts sind die Mittelwerte der Koordinaten von $A$ und $B$ . Das gilt in der Ebene und im Raum.

Beispiel: $A(\textcolor{orange}{-1}|\textcolor{dodgerblue}{4})$ und $B(\textcolor{orange}{5}|\textcolor{dodgerblue}{0})$ :

\vec{OM} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \textcolor{orange}{-1 + 5} \\ \textcolor{dodgerblue}{4 + 0} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad M(2|2)

Punktspiegelung: Spiegelt man $P$ am Punkt $Z$ , so ist $Z$ der Mittelpunkt von $P$ und seinem Bild $P'$ . Man geht von $P$ nach $Z$ und dann nochmals gleich weit: $\vec{OP'} = \vec{OZ} + \vec{PZ}$ .

Schwerpunkt eines Dreiecks

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks verbinden eine Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Sie schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt $S$ . Wir verwenden (ohne Beweis): $S$ teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis $2:1$ , von der Ecke aus gemessen.

Dreieck A(0|0), B(6|1), C(3|5): Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in S(3|2).

Wir berechnen $S$ auf der Seitenhalbierenden von $C$ zum Mittelpunkt $M$ der Seite $AB$ . $S$ liegt bei zwei Dritteln des Weges von $C$ nach $M$ :

\begin{aligned} \vec{OS} &= \vec{OC} + \frac{2}{3}\vec{CM} \\[8pt] &= \vec{OC} + \frac{2}{3}\left(\vec{OM} - \vec{OC}\right) \\[8pt] &= \frac{1}{3}\vec{OC} + \frac{2}{3}\vec{OM} \\[8pt] &= \frac{1}{3}\vec{OC} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\left(\vec{OA} + \vec{OB}\right) \\[8pt] &= \frac{1}{3}\vec{OC} + \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB} \end{aligned}

Schwerpunkt

$\vec{OS} = \frac{1}{3}\left(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\right)$
Der Schwerpunkt ist der «Durchschnitt» der drei Ecken.

Beispiel: $A(0|0)$ , $B(6|1)$ , $C(3|5)$ :

\vec{OS} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 + 6 + 3 \\ 0 + 1 + 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad S(3|2)

⭐ Teilpunkte

Der Mittelpunkt teilt eine Strecke im Verhältnis $1:1$ . Allgemeiner: Der Punkt $T$ teilt die Strecke $AB$ im Verhältnis $2:1$ (von $A$ aus), wenn er bei zwei Dritteln des Weges liegt:

\vec{OT} = \vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{AB}

Beispiel: $A(1|2)$ , $B(7|5)$ : $\vec{AB} = \binom{6}{3}$ , also $\vec{OT} = \binom{1}{2} + \frac{2}{3}\binom{6}{3} = \binom{5}{4}$ , d.h. $T(5|4)$ .

Teilverhältnis

Teilt $T$ die Strecke $AB$ im Verhältnis $m:n$ (von $A$ aus), dann liegt $T$ bei $\frac{m}{m+n}$ des Weges:
$\vec{OT}=\vec{OA}+\frac{m}{m+n}\,\vec{AB}$

Kurz geprüft

⭐ Beweisen mit Vektoren

Mit Vektoren kann man allgemeine geometrische Sätze beweisen, ganz ohne Koordinaten.

Satz: Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich gegenseitig.

Parallelogramm ABCD mit AB = DC: Die Mittelpunkte der Diagonalen AC und BD fallen zusammen.

Beweis: Sei $ABCD$ ein Parallelogramm, also $\vec{AB} = \vec{DC}$ . Die Mittelpunkte der beiden Diagonalen sind:

\vec{OM_1} = \frac{1}{2}\left(\vec{OA} + \vec{OC}\right), \qquad \vec{OM_2} = \frac{1}{2}\left(\vec{OB} + \vec{OD}\right)

Aus $\vec{AB} = \vec{DC}$ folgt $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OD}$ . Wir addieren zuerst $\vec{OD}$ auf beiden Seiten und dann $\vec{OA}$ :

\begin{aligned} \vec{OB} - \vec{OA} &= \vec{OC} - \vec{OD} \\[8pt] \vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OA} &= \vec{OC} \\[8pt] \vec{OB} + \vec{OD} &= \vec{OA} + \vec{OC} \end{aligned}

Also ist $\vec{OM_1} = \vec{OM_2}$ : Beide Diagonalen haben denselben Mittelpunkt. $\blacksquare$

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