Kollinearität und Teilpunkte

Lernziele

• Du kannst prüfen, ob Vektoren parallel bzw. Punkte kollinear sind.
• Du kannst Teilpunkte einer Strecke berechnen.
• Du kannst mit Vektoren geometrische Aussagen beweisen.

Parallele Vektoren

Zwei Vektoren sind parallel (kollinear), wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a} \quad \text{für ein } k \ne 0$

Beispiel: $\binom{2}{3}$ und $\binom{6}{9}$ sind parallel, denn $\binom{6}{9} = 3 \cdot \binom{2}{3}$. Dagegen sind $\binom{2}{3}$ und $\binom{6}{8}$ nicht parallel: $6 = 3 \cdot 2$, aber $8 \ne 3 \cdot 3$ — kein gemeinsames $k$.

Liegen drei Punkte auf einer Geraden?

Drei Punkte $A$, $B$, $C$ liegen auf einer Geraden («sind kollinear»), wenn $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ parallel sind.

Beispiel: $A(1|1)$, $B(3|4)$, $C(7|10)$.

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \qquad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix} = 3 \cdot \vec{AB} \quad ✓$

Die drei Punkte liegen auf einer Geraden — und das $k = 3$ sagt sogar mehr: $C$ liegt dreimal so weit von $A$ entfernt wie $B$, in derselben Richtung.

Teilpunkte

Wo liegt der Punkt $T$, der die Strecke $AB$ im Verhältnis $2:1$ teilt (von $A$ aus)? $T$ liegt bei zwei Dritteln des Wegs:

$\vec{OT} = \vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{AB}$

Beispiel: $A(1|2)$, $B(7|5)$: $\ \vec{AB} = \binom{6}{3}$, also $\vec{OT} = \binom{1}{2} + \frac{2}{3}\binom{6}{3} = \binom{5}{4}$, d.h. $T(5|4)$.

Der Mittelpunkt von der letzten Seite ist der Spezialfall «Teilverhältnis $1:1$» mit Faktor $\frac{1}{2}$.

Kurz geprüft

Beweisen mit Vektoren

Jetzt zeigt die Vektorgeometrie ihre eigentliche Stärke: Man kann mit ihr allgemeine geometrische Sätze beweisen, ganz ohne Koordinaten.

Satz: Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich gegenseitig.

Beweis: Sei $ABCD$ ein Parallelogramm, also $\vec{AB} = \vec{DC}$. Der Mittelpunkt $M_1$ der Diagonale $AC$:

$\vec{OM_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

Der Mittelpunkt $M_2$ der Diagonale $BD$:

$\vec{OM_2} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$

Aus $\vec{AB} = \vec{DC}$ folgt $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OD}$, also $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$. Damit ist $\vec{OM_1} = \vec{OM_2}$ — beide Diagonalen haben denselben Mittelpunkt. $\blacksquare$

Vier Zeilen Rechnung, und der Satz gilt für jedes Parallelogramm der Welt.

Aufgaben

1. Liegen $A(2|1)$, $B(5|3)$ und $C(11|7)$ auf einer Geraden?
2. $A(-2|3)$, $B(10|-3)$. Berechne den Punkt $T$, der $AB$ im Verhältnis $1:2$ teilt.
3. Für welches $t$ sind $\binom{3}{t}$ und $\binom{12}{8}$ parallel?
4. Challenge: Zeige mit Vektoren: Verbindet man die Seitenmittelpunkte eines beliebigen Vierecks $ABCD$, entsteht immer ein Parallelogramm. (Tipp: Drücke die Mittelpunkte durch Ortsvektoren aus und vergleiche zwei gegenüberliegende Seiten des Mittenvierecks.)