Linearkombination und Kollinearität

Lernziele

• Sie können einen Vektor als Linearkombination von zwei anderen Vektoren darstellen.
• Sie erkennen kollineare (parallele) Vektoren und können den Faktor angeben.
• Sie können prüfen, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen.

Linearkombination

Sie kennen schon Vielfache und Summen von Vektoren. Kombiniert man beides, erhält man eine Linearkombination.

Linearkombination

Ein Vektor $\vec{c}$ ist eine Linearkombination von $\textcolor{orange}{\vec{a}}$ und $\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}}$, wenn es Zahlen $r$ und $s$ gibt mit

$$\vec{c} = r\,\textcolor{orange}{\vec{a}} + s\,\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}}$$

Geometrisch heisst das: Sie gehen vom Schaft von $\vec{c}$ aus zuerst $r$-mal den Vektor $\textcolor{orange}{\vec{a}}$ und dann $s$-mal den Vektor $\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}}$. Wenn Sie so an der Spitze von $\vec{c}$ ankommen, ist $\vec{c} = r\,\textcolor{orange}{\vec{a}} + s\,\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}}$.

Zum Beispiel erreichen Sie die Spitze von $\vec{c}$, wenn Sie ab dem Schaft von $\vec{c}$ zweimal $\textcolor{orange}{\vec{a}}$ und dann einmal $\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}}$ zeichnen, Spitze an Schaft:

Für $\vec{d}$ gehen Sie einmal $\textcolor{orange}{\vec{a}}$ und dann zweimal gegen $\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}}$, also $\vec{d} = \textcolor{orange}{\vec{a}} - 2\,\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}}$. Die Zahlen $r$ und $s$ dürfen auch negativ oder Dezimalzahlen sein.

Zeichnet man alle ganzzahligen Vielfachen von $\textcolor{orange}{\vec{a}}$ und $\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}}$ ein, entsteht ein schiefes Gitter. Auf diesem Gitter lesen Sie $r$ und $s$ ab wie Koordinaten. Probieren Sie es aus: Stellen Sie $r$ und $s$ so ein, dass die grüne Spitze auf verschiedene Gitterpunkte fällt.

Wichtige Tatsache

Sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ nicht parallel, dann lässt sich jeder Vektor der Ebene als Linearkombination $r\vec{a} + s\vec{b}$ schreiben, und zwar auf genau eine Art.

Daraus folgt: Gilt $r\vec{a} + s\vec{b} = r'\vec{a} + s'\vec{b}$, dann ist $r = r'$ und $s = s'$. Man darf also die Koeffizienten vergleichen.

Beispiel: Aus $r\,\vec a + s\,\vec b = 3\,\vec a + 2\,\vec b$ folgt $r=3$ und $s=2$.

Kollineare Vektoren

Was passiert, wenn $\vec{b}$ ein Vielfaches von $\vec{a}$ ist? Dann liegen beide Pfeile auf parallelen Geraden.

Kollinear

Zwei Vektoren $\vec{a} \neq \vec{0}$ und $\vec{b}$ heissen kollinear (oder parallel), wenn es eine Zahl $k$ gibt mit

$$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$$

Für $k > 0$ zeigen beide in dieselbe Richtung, für $k < 0$ in entgegengesetzte Richtungen.

Welche Vektoren in der Abbildung sind Vielfache von $\vec{a}$? Überlegen Sie zuerst selbst, bevor Sie die Auflösung öffnen.

Auflösung

In der Abbildung sind $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{e}$ und $\vec{g}$ kollinear zu $\vec{a}$. Zum Beispiel ist $\vec{b} = 2\vec{a}$ und $\vec{c} = -1{,}5\,\vec{a}$. Die Vektoren $\vec{d}$ und $\vec{f}$ sind nicht kollinear zu $\vec{a}$: Kein Vielfaches von $\vec{a}$ hat ihre Richtung.

Kollineare Vektoren taugen nicht als Gitter: Mit $\vec{a}$ und $2\vec{a}$ kommen Sie nur entlang einer einzigen Geraden voran.

Liegen drei Punkte auf einer Geraden?

Drei Punkte $A$, $B$, $C$ mit $A\neq B$ liegen genau dann auf einer gemeinsamen Geraden, wenn die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ kollinear sind:

Man sagt dann auch: Die Punkte sind kollinear. Die Zahl $k$ verrät zusätzlich, wo $C$ liegt:

• $k = 2$: $C$ liegt doppelt so weit von $A$ entfernt wie $B$, in derselben Richtung.
• $k = 0{,}5$: $C$ liegt genau in der Mitte zwischen $A$ und $B$.
• $k = -1$: $C$ liegt auf der anderen Seite von $A$, gleich weit weg wie $B$.

Kurz geprüft

Schatzsuche

Im folgenden Spiel stehen Sie im Punkt $S$ und dürfen nur in Richtung $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gehen. Finden Sie $r$ und $s$, damit Sie den Schatz $Z$ erreichen. Manchmal ist der Schatz nicht erreichbar. Wann passiert das?

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