Koordinaten und Ortsvektoren

Lernziele

• Sie können einen Vektor in Komponenten schreiben und Vektoren komponentenweise addieren und vervielfachen.
• Sie können den Ortsvektor eines Punktes und den Vektor zwischen zwei Punkten bestimmen.
• Sie können mit Punkten und Vektoren im Raum rechnen.
• Sie können Kollinearität und Linearkombinationen rechnerisch prüfen.

Vektoren in Komponenten

Bisher haben wir Pfeile gezeichnet und Häuschen gezählt: «3 nach rechts, 2 nach oben». Genau diese zwei Zahlen schreiben wir jetzt übereinander und nennen sie die Komponenten des Vektors:

Die obere Zahl ist die $\textcolor{orange}{x\text{-Komponente}}$ (nach rechts positiv), die untere die $\textcolor{dodgerblue}{y\text{-Komponente}}$ (nach oben positiv).

Das ist eine Linearkombination, wie Sie sie kennen. Nehmen Sie als Gitter die zwei Einheitsvektoren $\vec{e}_x$ (ein Häuschen nach rechts) und $\vec{e}_y$ (ein Häuschen nach oben). Dann gilt:

Die Komponenten sind also einfach die Zahlen vor $\vec e_x$ und $\vec e_y$ (auf der Seite «Linearkombination und Kollinearität» hiessen sie $r$ und $s$).

Ziehen Sie im Vektorlabor an den Pfeilspitzen und beobachten Sie die Komponenten unter dem Bild.

Rechnen in Komponenten

Weil Komponenten nichts anderes als Häuschenzahlen sind, rechnen Sie komponentenweise:

Subtrahieren geht ebenso komponentenweise, denn $\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$.

Der Nullvektor ist $\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Ortsvektoren

Ein Punkt hat Koordinaten, zum Beispiel $A(4|1)$. Der Pfeil vom Ursprung $O(0|0)$ zum Punkt $A$ heisst Ortsvektor von $A$. Seine Komponenten sind genau die Koordinaten von $A$:

Achten Sie auf die Schreibweise: $A(4|1)$ ist ein Punkt (ein Ort), $\vec{OA} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist ein Vektor (der Weg dorthin).

Der Vektor zwischen zwei Punkten

Wie kommen Sie von $A(4|1)$ nach $B(6|5)$? Sie gehen zuerst von $A$ zurück zum Ursprung und dann vom Ursprung nach $B$:

In Komponenten:

Kontrolle: Zählen Sie im Koordinatensystem oben die Häuschen von $A$ nach $B$: 2 nach rechts und 4 nach oben.

Spitze minus Schaft

Für $A(\textcolor{orange}{a_1}|\textcolor{orange}{a_2})$ und $B(\textcolor{dodgerblue}{b_1}|\textcolor{dodgerblue}{b_2})$ gilt:

$$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} \textcolor{dodgerblue}{b_1} - \textcolor{orange}{a_1} \\ \textcolor{dodgerblue}{b_2} - \textcolor{orange}{a_2} \end{pmatrix}$$

Merkregel: Koordinaten der Spitze minus Koordinaten des Schafts.

Umgekehrt finden Sie einen Punkt, wenn Sie einen Startpunkt und eine Verschiebung kennen: $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}$.

Kurz geprüft

Vektoren im Raum

Im Raum braucht es eine dritte Achse. Ein Punkt hat drei Koordinaten, zum Beispiel $P(3|4|2)$: $3$ in $x$-Richtung (nach vorne), $4$ in $y$-Richtung (nach rechts) und $2$ in $z$-Richtung (nach oben). Vektoren haben entsprechend drei Komponenten.

Drehen Sie das Schrägbild mit dem Finger oder der Maus. Der gestrichelte Weg zeigt, wie man den Punkt erreicht: zuerst $x$, dann $y$, dann $z$.

Alles, was Sie in der Ebene gelernt haben, gilt im Raum genau gleich, nur mit einer Komponente mehr. Für $P(3|4|2)$ und $Q(-2|1|3)$ gilt:

Kollinearität rechnerisch

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist. In Komponenten heisst das: Alle Komponenten müssen mit demselben Faktor $k$ multipliziert werden.

Beispiel 1: Sind $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \end{pmatrix}$ kollinear?

Aus der $x$-Komponente: $-6 = k \cdot 2$, also $k = -3$. Probe mit der $y$-Komponente: $-3 \cdot (-3) = 9$. ✓ Kollinear mit $k = -3$.

Ist eine Komponente $0$, bestimmen Sie $k$ aus einer anderen Komponente. Die Komponente mit $0$ muss dann auch beim anderen Vektor $0$ sein.

Beispiel 2: Liegen $A(1|2|0)$, $B(2|4|1)$ und $C(4|8|4)$ auf einer Geraden?

Aus der $x$-Komponente folgt $k = 3$. Aber $3 \cdot 1 = 3 \ne 4$ in der $z$-Komponente. Es gibt kein gemeinsames $k$: Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden.

Linearkombination rechnerisch

Gesucht sind $r$ und $s$ mit

Jede Komponente liefert eine Gleichung:

Aus der zweiten Gleichung: $r = 4 - 2s$. Eingesetzt in die erste:

Dann ist $r = 4 - 2 \cdot 1 = 2$. Also gilt $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Das ist der Vektor $\vec{c}$ aus dem schiefen Gitter auf der Seite «Linearkombination und Kollinearität».

Weiter

Üben Sie auf der Seite «Übungen: Rechnen mit Koordinaten».