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Rechnen mit Pfeilen

Lernziele
  • Sie können zwei Vektoren zeichnerisch addieren und subtrahieren.
  • Sie können Vielfache eines Vektors zeichnen.
  • Sie können Vektorzüge vereinfachen, zum Beispiel AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}.

Auf dieser Seite rechnen wir nur mit Pfeilen, ganz ohne Koordinaten.

Addition: zwei Verschiebungen nacheinander

Verschieben Sie einen Punkt zuerst um a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}} und danach um b⃗\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}}. Insgesamt haben Sie ihn um eine einzige Verschiebung bewegt. Diese Gesamtverschiebung heisst Summe a⃗+b⃗\textcolor{mediumseagreen}{\vec{a} + \vec{b}}.

Links: b wird an die Spitze von a gehängt. Rechts: Beide Wege um das Parallelogramm führen zum selben Punkt.Links: b wird an die Spitze von a gehängt. Rechts: Beide Wege um das Parallelogramm führen zum selben Punkt.
Addition von Vektoren

Spitze an Schaft: Zeichnen Sie a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}}. Hängen Sie den Schaft von b⃗\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} an die Spitze von a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}}. Der Pfeil vom Schaft von a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}} zur Spitze von b⃗\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} ist a⃗+b⃗\textcolor{mediumseagreen}{\vec{a} + \vec{b}}.

Parallelogramm: Zeichnen Sie a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}} und b⃗\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} vom selben Punkt aus. Die Diagonale des Parallelogramms ist a⃗+b⃗\textcolor{mediumseagreen}{\vec{a} + \vec{b}}.

Das Parallelogramm zeigt auch: Ob Sie zuerst a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}} und dann b⃗\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} gehen oder umgekehrt, Sie landen am selben Punkt. Es gilt also:

a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}} + \textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} = \textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} + \textcolor{orange}{\vec{a}}

Ziehen Sie an den Spitzen der Pfeile. Schalten Sie auch das Parallelogramm ein.

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Subtraktion: den Gegenvektor addieren

Bei Zahlen gilt 5−3=5+(−3)5 - 3 = 5 + (-3). Bei Vektoren definieren wir die Subtraktion genau so:

a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\textcolor{orange}{\vec{a}} - \textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} = \textcolor{orange}{\vec{a}} + \left(-\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}}\right)

Sie hängen also den Gegenvektor von b⃗\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} an die Spitze von a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}}.

Links: a − b zeigt von der Spitze von b zur Spitze von a. Rechts: dasselbe als a + (−b).Links: a − b zeigt von der Spitze von b zur Spitze von a. Rechts: dasselbe als a + (−b).

Es gibt noch einen schnelleren Weg. Zeichnen Sie a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}} und b⃗\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} vom selben Punkt aus. Dann zeigt a⃗−b⃗\textcolor{mediumseagreen}{\vec{a} - \vec{b}} von der Spitze von b⃗\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} zur Spitze von a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}}. Warum? Gehen Sie zuerst b⃗\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} und dann a⃗−b⃗\textcolor{mediumseagreen}{\vec{a} - \vec{b}}:

b⃗+(a⃗−b⃗)=a⃗\textcolor{dodgerblue}{\vec{b}} + \left(\textcolor{mediumseagreen}{\vec{a} - \vec{b}}\right) = \textcolor{orange}{\vec{a}}

Sie landen an der Spitze von a⃗\textcolor{orange}{\vec{a}}.

Richtung beachten

a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} zeigt zur Spitze von a⃗\vec{a}, also zum Vektor, von dem abgezogen wird. b⃗−a⃗\vec{b} - \vec{a} ist der Gegenvektor davon.

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Vielfache: strecken und umdrehen

3a⃗3\vec{a} bedeutet a⃗+a⃗+a⃗\vec{a} + \vec{a} + \vec{a}: dreimal dieselbe Verschiebung, also ein dreimal so langer Pfeil in derselben Richtung. Das lässt sich auf alle reellen Zahlen kk verallgemeinern.

Vielfaches eines Vektors

Für eine Zahl kk ist k a⃗k\,\vec{a} der Vektor mit

  • der Länge ∣k∣⋅∣a⃗∣|k| \cdot |\vec{a}|,
  • derselben Richtung wie a⃗\vec{a}, falls k>0k > 0,
  • der entgegengesetzten Richtung, falls k<0k < 0.

Für k=0k = 0 erhalten Sie den Nullvektor: 0⋅a⃗=0⃗0 \cdot \vec{a} = \vec{0}.

Vielfache von a: Alle Pfeile sind parallel zu a, negative Faktoren drehen die Richtung um.Vielfache von a: Alle Pfeile sind parallel zu a, negative Faktoren drehen die Richtung um.

Zum Beispiel ist 0,5 a⃗0{,}5\,\vec{a} halb so lang wie a⃗\vec{a}, und −1,5 a⃗-1{,}5\,\vec{a} ist anderthalb mal so lang, zeigt aber in die Gegenrichtung. Der Gegenvektor ist der Spezialfall k=−1k = -1:

−a⃗=(−1)⋅a⃗-\vec{a} = (-1) \cdot \vec{a}

Verändern Sie kk mit dem Schieberegler. Was passiert bei k=0k = 0? Und bei negativem kk?

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Rechenregeln

Mit Vektoren rechnen Sie fast wie mit Variablen in der Algebra. Diese Regeln dürfen Sie verwenden:

a⃗+b⃗=b⃗+a⃗(a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)k (a⃗+b⃗)=k a⃗+k b⃗(k+m) a⃗=k a⃗+m a⃗k (m a⃗)=(km) a⃗a⃗+(−a⃗)=0⃗\begin{aligned} \vec{a} + \vec{b} &= \vec{b} + \vec{a} \\[8pt] (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} &= \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \\[8pt] \textcolor{orange}{k}\,(\vec{a} + \vec{b}) &= \textcolor{orange}{k}\,\vec{a} + \textcolor{orange}{k}\,\vec{b} \\[8pt] (\textcolor{orange}{k} + \textcolor{dodgerblue}{m})\,\vec{a} &= \textcolor{orange}{k}\,\vec{a} + \textcolor{dodgerblue}{m}\,\vec{a} \\[8pt] \textcolor{orange}{k}\,(\textcolor{dodgerblue}{m}\,\vec{a}) &= (\textcolor{orange}{k}\textcolor{dodgerblue}{m})\,\vec{a} \\[8pt] \vec{a} + (-\vec{a}) &= \vec{0} \end{aligned}

Beispiel: Vereinfachen Sie 2(a⃗−3b⃗)+4b⃗2(\vec{a} - 3\vec{b}) + 4\vec{b}.

Zuerst ausmultiplizieren:

2(a⃗−3b⃗)+4b⃗=2a⃗−6b⃗+4b⃗2(\vec{a} - 3\vec{b}) + 4\vec{b} = 2\vec{a} - 6\vec{b} + 4\vec{b}

Dann die Vielfachen von b⃗\vec{b} zusammenfassen: −6b⃗+4b⃗=−2b⃗-6\vec{b} + 4\vec{b} = -2\vec{b}. Also:

2(a⃗−3b⃗)+4b⃗=2a⃗−2b⃗2(\vec{a} - 3\vec{b}) + 4\vec{b} = 2\vec{a} - 2\vec{b}

Beispiel: Lösen Sie 2x⃗−a⃗=b⃗2\vec{x} - \vec{a} = \vec{b} nach x⃗\vec{x} auf.

Wie bei einer Gleichung mit Zahlen addieren wir zuerst a⃗\vec a auf beiden Seiten:

2x⃗=a⃗+b⃗2\vec{x} = \vec{a} + \vec{b}

Dann multiplizieren wir beide Seiten mit 12\frac12. Das ist erlaubt, denn 12\frac12 ist eine Zahl:

x⃗=12(a⃗+b⃗)\vec{x} = \tfrac12(\vec{a} + \vec{b})
Nicht erlaubt

Durch eine Zahl dürfen Sie teilen: Teilen durch kk heisst mit 1k\frac1k multiplizieren. Durch einen Vektor kann man nicht dividieren, und zwei Vektoren miteinander multiplizieren können Sie bisher auch nicht. Ausdrücke wie a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} oder a⃗b⃗\frac{\vec{a}}{\vec{b}} kommen hier nicht vor.

Vektorzüge

Wer von AA nach BB und dann von BB nach CC geht, ist insgesamt von AA nach CC gegangen:

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{A\textcolor{orange}{B}} + \vec{\textcolor{orange}{B}C} = \vec{AC}

Die Spitze des ersten Pfeils ist der Schaft des zweiten. Der «innere» Punkt B\textcolor{orange}{B} fällt weg. Das funktioniert auch mit mehr Pfeilen:

AB⃗+BC⃗+CD⃗=AD⃗\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}

Und wer wieder am Startpunkt ankommt, hat sich insgesamt nicht bewegt:

AB⃗+BC⃗+CA⃗=AA⃗=0⃗\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}

Beispiel: Vereinfachen Sie AB⃗−CB⃗\vec{AB} - \vec{CB}.

Ein Minus vor einem Pfeil vertauscht Schaft und Spitze: −CB⃗=BC⃗-\vec{CB} = \vec{BC}. Dann steht ein Vektorzug da:

AB⃗−CB⃗=AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} - \vec{CB} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

Passen die Pfeile nicht Spitze an Schaft zusammen, dürfen Sie die Summanden zuerst vertauschen, denn a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec a+\vec b=\vec b+\vec a.

Kurz geprüft
Weiter

Üben Sie auf der Seite «Übungen: Vektoren als Pfeile», Abschnitte 2 bis 4.

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