Übungen: Betrag, Mittelpunkt, Schwerpunkt

So arbeiten Sie hier

Lösen Sie die Aufgaben im karierten Feld mit dem Stift (oder fügen Sie ein Foto per Ctrl+V ein) und lassen Sie Ihre Lösung pro Abschnitt prüfen. Aufgaben mit ⭐ sind anspruchsvoller.

1 Betrag und Einheitsvektor

Aufgaben

1. Berechnen Sie a) $\left|\begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix}\right|$   b) $\left|\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \end{pmatrix}\right|$   c) den Abstand der Punkte $A(-2|3)$ und $B(4|{-5})$.

2. a) Bestimmen Sie den Einheitsvektor in Richtung $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$.   b) Bestimmen Sie den Vektor, der in dieselbe Richtung zeigt wie $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ und die Länge $15$ hat.

3. ⭐ a) Für welche Zahlen $t$ gilt $\left|\begin{pmatrix} t \\ 12 \end{pmatrix}\right| = 13$?   b) Ist das Dreieck mit $A(1|1)$, $B(5|2)$, $C(2|5)$ gleichschenklig? Begründen Sie mit Beträgen.

Kurz geprüft

2 Mittelpunkt und Punktspiegelung

Aufgaben

4. a) Bestimmen Sie den Mittelpunkt $M$ der Strecke $AB$ mit $A(-3|5)$ und $B(7|{-1})$.

b) $M(1|4)$ ist der Mittelpunkt der Strecke $AB$, und es ist $A(-2|7)$. Bestimmen Sie $B$. (Tipp: $\vec{OB} = \vec{OM} + \vec{AM}$.)

c) Spiegeln Sie den Punkt $P(5|{-2})$ am Punkt $Z(2|1)$.

3 Parallelogramme ergänzen

Aufgaben

5. Gegeben sind $A(1|{-1})$, $B(6|1)$ und $C(7|5)$. Bestimmen Sie $D$ so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm ist (Ecken in dieser Reihenfolge). Kontrollieren Sie: Haben die Diagonalen $AC$ und $BD$ denselben Mittelpunkt?

6. ⭐ Die drei Punkte $A(0|0)$, $B(4|1)$, $C(1|3)$ sind Ecken eines Parallelogramms, aber man weiss nicht, welche Ecken benachbart sind. Bestimmen Sie alle möglichen vierten Eckpunkte und skizzieren Sie die Parallelogramme. Es gibt drei Möglichkeiten.

4 Der Schwerpunkt eines Dreiecks

Aufgaben

7. Bestimmen Sie den Schwerpunkt $S$ des Dreiecks mit $A(1|1)$, $B(7|2)$, $C(4|9)$.

8. Prüfen Sie am Dreieck aus Aufgabe 7: Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierende von $C$ zum Mittelpunkt $M_{AB}$ im Verhältnis $2:1$. Berechnen Sie dazu $M_{AB}$ und den Punkt, der $CM_{AB}$ im Verhältnis $2:1$ teilt.

9. Von einem Dreieck kennt man $A(-2|3)$, $B(5|{-1})$ und den Schwerpunkt $S(1|2)$. Bestimmen Sie $C$. (Tipp: Setzen Sie in die Schwerpunktformel ein und lösen Sie nach $\vec{OC}$ auf.)

5 ⭐ Teilpunkte

Aufgaben

10. Gegeben sind $A(1|{-2})$ und $B(9|10)$. Bestimmen Sie den Punkt $T_1$, der $AB$ im Verhältnis $1:3$ teilt, und den Punkt $T_2$, der $AB$ im Verhältnis $3:1$ teilt (jeweils von $A$ aus).

11. Die Strecke von $A(-4|1)$ nach $B(6|6)$ wird in fünf gleich lange Teile geteilt. Bestimmen Sie die vier Teilungspunkte.

12. Der Punkt $T(2|3)$ teilt die Strecke $AB$ im Verhältnis $2:1$ (von $A$ aus), und es ist $A(-4|{-1})$. Bestimmen Sie $B$.

6 ⭐ Beweisen mit Vektoren

Bezeichnen Sie die Ortsvektoren kurz mit $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$ usw. Dann ist zum Beispiel $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, und der Mittelpunkt von $AB$ hat den Ortsvektor $\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.

Aufgaben

13. Mittellinie im Dreieck: $M$ ist der Mittelpunkt von $AB$, $N$ der Mittelpunkt von $AC$. Zeigen Sie: $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$. Was bedeutet das geometrisch?

14. Mittenviereck: Verbindet man die Seitenmittelpunkte eines beliebigen Vierecks $ABCD$, entsteht immer ein Parallelogramm. Zeigen Sie das, indem Sie zwei gegenüberliegende Seiten des Mittenvierecks vergleichen.

15. Umkehrung: In einem Viereck $ABCD$ haben die Diagonalen $AC$ und $BD$ denselben Mittelpunkt. Zeigen Sie, dass $ABCD$ ein Parallelogramm ist, d.h. dass $\vec{AB} = \vec{DC}$ gilt.