Übungen: Linearkombination und Kollinearität

So arbeiten Sie hier

Zeichnen Sie direkt in die Abbildungen. Ein Häuschen hat die Länge $1$. Aufgaben mit ⭐ sind anspruchsvoller.

1 Kollineare Vektoren erkennen

Aufgaben

1. Welche der Vektoren $\vec{b}$ bis $\vec{g}$ sind kollinear zu $\vec{a}$? Geben Sie jeweils den Faktor $k$ mit $\vec{b} = k\,\vec{a}$ usw. an. Begründen Sie bei den anderen, warum es kein solches $k$ gibt. (Diese Abbildung kennen Sie aus der Theorie. Lösen Sie ohne nachzuschauen.)

Aufgaben

2. Richtig oder falsch? Begründen Sie kurz.

a) Ist $\vec{b} = -4\,\vec{a}$, dann sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ nicht kollinear, weil sie in verschiedene Richtungen zeigen.

b) Sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kollinear, dann lässt sich nicht jeder Vektor der Ebene als $r\vec{a} + s\vec{b}$ schreiben.

c) Gilt $\vec{AC} = 3\,\vec{AB}$, dann liegt $B$ zwischen $A$ und $C$.

2 Linearkombinationen ablesen und zeichnen

Aufgaben

3. a) Wie lassen sich $\vec{c}$, $\vec{d}$ und $\vec{e}$ als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ schreiben? Zeichnen Sie dazu ab dem Schaft jedes grünen Pfeils Vielfache von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Spitze an Schaft, bis Sie an seiner Spitze ankommen. $r$ und $s$ müssen nicht ganzzahlig sein.

b) Zeichnen Sie an einer freien Stelle die Vektoren $\vec{p} = 1{,}5\,\vec{a} + \vec{b}$ und $\vec{q} = 0{,}5\,\vec{a} - \vec{b}$ ein.

Aufgaben

4. Schatzsuche: Lösen Sie alle Aufgaben im Spiel. Notieren Sie zu jeder Aufgabe $r$ (und $s$, falls vorhanden) oder «nicht erreichbar». Wann ist ein Schatz nicht erreichbar?

3 Rechnen ohne Koordinaten

Aufgaben

5. Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind nicht kollinear.

a) Bestimmen Sie $r$ und $s$ aus $r\,\vec{a} + 3\,\vec{b} = 4\,\vec{a} + (s - 1)\,\vec{b}$.

b) Für welche Zahl $t$ sind die Vektoren $2\vec{a} + 3\vec{b}$ und $t\,\vec{a} - 6\,\vec{b}$ kollinear?

Aufgaben

6. ⭐ Im Parallelogramm $ABCD$ ist $\vec{a} = \vec{AB}$ und $\vec{b} = \vec{AD}$. $K$ ist der Mittelpunkt der Seite $BC$. Der Punkt $T$ liegt auf der Diagonale $AC$ mit $\vec{AT} = \frac{2}{3}\,\vec{AC}$.

Zeichnen Sie $K$ und $T$ in die Abbildung ein.

a) Drücken Sie $\vec{DK}$ und $\vec{DT}$ durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aus.

b) Zeigen Sie, dass $D$, $T$ und $K$ auf einer Geraden liegen. Bestimmen Sie $k$ mit $\vec{DT}=k\cdot\vec{DK}$.