Übungen: Vektoren im Raum und Vermischtes

Repetition vor der Prüfung

Im Raum haben Punkte und Vektoren drei Koordinaten: $P(2|{-1}|3)$ bzw. $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Alle Regeln bleiben gleich: «Spitze minus Schaft», komponentenweise rechnen, Mittelpunkt $\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$. Nur beim Betrag kommt unter der Wurzel ein dritter Summand $z^2$ dazu:

$$\left| \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Aufgaben mit ⭐ sind anspruchsvoller.

1 Rechnen im Raum

Aufgaben

1. Gegeben sind $A(1|2|{-1})$ und $B(5|{-2}|1)$. Berechnen Sie $\vec{AB}$, die Länge der Strecke $AB$ und den Mittelpunkt $M$ von $AB$.

2. Gegeben sind $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ und $\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

a) Berechnen Sie $2\vec{u} - \vec{v}$.   b) Berechnen Sie $|\vec{v}|$ (exakt, mit Wurzel).   c) Bestimmen Sie den Einheitsvektor in Richtung $\vec{w}$.

2 Kollinear, Teilpunkt und Parallelogramm im Raum

Aufgaben

3. a) Liegen $A(1|0|2)$, $B(3|1|5)$ und $C(7|3|11)$ auf einer Geraden?

b) ⭐ Der Punkt $T$ teilt die Strecke von $P(-1|4|2)$ nach $Q(5|1|8)$ im Verhältnis $1:2$ (von $P$ aus). Bestimmen Sie $T$.

4. Gegeben sind $A(2|1|0)$, $B(5|3|1)$ und $C(4|6|3)$. Bestimmen Sie $D$ so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm ist, und kontrollieren Sie mit den Diagonalenmittelpunkten.

3 Der Würfel

Ein Würfel $ABCDEFGH$ mit Kantenlänge $4$ liegt so im Koordinatensystem: $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$, $D(0|4|0)$ und $E(0|0|4)$. Die Grundfläche ist $ABCD$, die Deckfläche $EFGH$ ($E$ über $A$, $F$ über $B$ usw.).

Aufgaben

5. a) Geben Sie die Koordinaten aller acht Ecken an.

b) Berechnen Sie $\vec{AG}$ und die Länge der Raumdiagonale $AG$.

c) $M$ ist der Mittelpunkt der Kante $FG$. Berechnen Sie die Länge der Strecke $AM$.

Kontrolle zu 5 a): Drehen Sie den Würfel und tippen Sie eine Ecke an, um ihre Koordinaten zu sehen.

Aufgaben

6. ⭐ Bestimmen Sie den Schwerpunkt $S$ des Dreiecks $BDE$. Zeigen Sie, dass $S$ auf der Raumdiagonale $AG$ liegt, und geben Sie an, welcher Bruchteil von $\vec{AG}$ der Vektor $\vec{AS}$ ist.

Kurz geprüft

4 Vermischte Aufgaben

Aufgaben

7. Gegeben ist das Viereck $A(1|1)$, $B(7|3)$, $C(6|6)$, $D(3|5)$. Zeigen Sie mit Vektoren, dass es ein Trapez ist, aber kein Parallelogramm. Wie lang ist die Seite $DC$ im Vergleich zu $AB$?

8. ⭐ Ein Quader $ABCDEFGH$ wird von den Vektoren $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AD}$ und $\vec{c} = \vec{AE}$ aufgespannt (Bezeichnung wie beim Würfel, $A$ im Ursprung). Zeigen Sie: Die vier Raumdiagonalen $AG$, $BH$, $CE$ und $DF$ schneiden sich in einem Punkt und halbieren sich dort. (Tipp: Drücken Sie die Ortsvektoren aller Ecken durch $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ aus und berechnen Sie die vier Diagonalenmittelpunkte.)