Übungen: Rechnen mit Koordinaten

So arbeiten Sie hier

Lösen Sie die Aufgaben direkt im karierten Feld mit dem Stift (oder auf Papier und fügen Sie ein Foto per Ctrl+V ein). Danach können Sie Ihre Lösung pro Abschnitt prüfen lassen. Aufgaben mit ⭐ sind anspruchsvoller.

1 Punkte und Verbindungsvektoren

Aufgaben

1. Lesen Sie die Koordinaten der Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ ab.

2. Berechnen Sie $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{CD}$ und $\vec{DA}$ («Spitze minus Schaft»). Berechnen Sie dann $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA}$ und erklären Sie ohne Rechnung, warum dieses Ergebnis kein Zufall ist.

2 Zeichnerisch addieren und strecken

Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Zeichnen Sie direkt ins Koordinatensystem, alle Pfeile beginnen beim Punkt $P(-3|{-2})$.

Aufgaben

3. Zeichnen Sie ab $P$ den Pfeil $\vec{a}$, hängen Sie an seine Spitze den Pfeil $\vec{b}$ und zeichnen Sie dann den Summenpfeil $\vec{a} + \vec{b}$ ein. Lesen Sie seine Komponenten ab.

4. Zeichnen Sie ab $P$ auch $\vec{a} - \vec{b}$ (Tipp: $\vec{a} + (-\vec{b})$) und $2\vec{a} - \vec{b}$. Lesen Sie die Komponenten ab und kontrollieren Sie sie rechnerisch.

3 Rechnen in Komponenten

Gegeben: $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Aufgaben

5. Berechnen Sie a) $3\vec{u} + \vec{v}$   b) $\vec{u} - 2\vec{v} + \vec{w}$   c) $2(\vec{u} - \vec{w}) + \vec{v}$

6. Bestimmen Sie den Vektor $\vec{x}$ mit $2\vec{x} + \vec{u} = \vec{v}$.

7. ⭐ Bestimmen Sie den Vektor $\vec{x}$ mit $3\vec{x} - \vec{v} = \vec{x} + 2\vec{w}$. Rechnen Sie zuerst mit den Vektoren wie mit Variablen und setzen Sie erst am Schluss die Komponenten ein.

4 Parallel und kollinear

Aufgaben

8. Prüfen Sie, ob die Vektoren kollinear sind. Geben Sie gegebenenfalls den Faktor $k$ an (zweiter Vektor $= k \cdot$ erster Vektor).

a) $\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -6 \\ 9 \end{pmatrix}$   b) $\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 9 \\ 14 \end{pmatrix}$   c) $\begin{pmatrix} -2 \\ 7 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 8 \\ -28 \end{pmatrix}$

9. Bestimmen Sie $t$ so, dass die Vektoren kollinear sind.

a) $\begin{pmatrix} t \\ 6 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$   b) ⭐ $\begin{pmatrix} 5 \\ t \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} t \\ 20 \end{pmatrix}$ (es gibt zwei Lösungen)

10. Gegeben sind $A(-1|2)$, $B(1|5)$, $C(7|14)$ und $D(5|10)$. Liegen $A$, $B$, $C$ auf einer Geraden? Und $A$, $B$, $D$?

11. Bestimmen Sie $y$ so, dass $A(2|{-1})$, $B(4|3)$ und $C(7|y)$ auf einer Geraden liegen.

12. ⭐ Die Gerade durch $A(-2|5)$ und $B(4|2)$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $P$. Bestimmen Sie $P$. (Tipp: Jeder Punkt der Geraden ist $\vec{OA}+t\cdot\vec{AB}$ mit einer Zahl $t$; bei $t=0$ sind Sie in $A$, bei $t=1$ in $B$. $P$ hat die $y$-Koordinate $0$.)

5 Linearkombinationen

Aufgaben

13. Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Schreiben Sie als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und machen Sie jeweils die Probe:

a) $\vec{c} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix}$ (skizzieren Sie das Ergebnis zusätzlich: Pfeile $r\vec{a}$ und $s\vec{b}$ Spitze an Schaft)   b) $\vec{d} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \end{pmatrix}$

6 Punkte im Raum

Aufgaben

14. a) Lesen Sie die Koordinaten von $P$, $Q$ und $R$ im Schrägbild ab. Drehen Sie dazu das Bild und folgen Sie dem gestrichelten Weg. Kontrollieren Sie danach mit dem zugeklappten Kasten unten.

Kontrolle zu 14 a)

$P(2|3|1)$,   $Q(-1|2|3)$,   $R(0|{-2}|2)$

Aufgaben

14. b) Berechnen Sie $\vec{PQ}$, $\vec{QR}$ und $\vec{PR}$. Prüfen Sie: $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$?

15. Mit $P$ und $Q$ aus Aufgabe 14: Liegen die Punkte $P$, $Q$ und $S(8|5|{-3})$ auf einer Geraden? Und die Punkte $P$, $Q$ und $T(5|5|0)$?