Übungen: Vektoren als Pfeile

So arbeiten Sie hier

Zeichnen und rechnen Sie direkt mit dem Stift in die Abbildungen und karierten Felder. Ein Häuschen hat die Länge $1$. Aufgaben mit ⭐ sind anspruchsvoller.

1 Pfeile vergleichen

Aufgaben

1. Betrachten Sie die acht Pfeile.

a) Welche Pfeile stellen denselben Vektor dar wie ①?   b) Welcher Pfeil stellt den Gegenvektor von ① dar?

c) Wie hängen ⑤ und ⑧ zusammen?   d) Vergleichen Sie ⑦ mit ①: Richtung? Länge?

e) Berechnen Sie den Betrag von ① und von ⑤. Geben Sie das Resultat exakt an (Wurzel stehen lassen) und gerundet auf zwei Dezimalen.

Aufgaben

2. Zeichnen Sie in die Abbildung:

a) $\vec{u}$ mit Schaft in $P$   b) $-\vec{v}$ mit Schaft in $Q$

c) $\vec{w}$ mit Schaft in $R$   d) $-\vec{u}$ mit Schaft in $S$

Aufgaben

3. Richtig oder falsch? Begründen Sie kurz.

a) Zwei gleich lange Pfeile stellen immer denselben Vektor dar.

b) Für alle Punkte $A$ und $B$ gilt $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

c) Ein Vektor und sein Gegenvektor haben denselben Betrag.

d) Wenn $\vec{AB} = \vec{CD}$ gilt, dann ist $A = C$.

2 Addieren und subtrahieren

Aufgaben

4. Zeichnen Sie in die Abbildung. Zeichnen Sie jeweils zuerst die Einzelpfeile Spitze an Schaft und dann das Ergebnis in einer anderen Farbe.

a) $\vec{u} + \vec{v}$ ab $P$   b) $\vec{v} - \vec{w}$ ab $Q$

c) $\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$ ab $R$   d) $\vec{u} - \vec{v}$ ab $S$

e) Wie viele Häuschen geht jeder Ergebnispfeil nach rechts oder links und wie viele nach oben oder unten?

Aufgaben

5. $ABCD$ ist ein Parallelogramm mit $\vec{a} = \vec{AB}$ und $\vec{b} = \vec{AD}$. Drücken Sie durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aus:

a) $\vec{DC}$   b) $\vec{CB}$   c) $\vec{BA}$   d) $\vec{AC}$   e) $\vec{BD}$   f) $\vec{CA}$

Aufgaben

6. Vereinfachen Sie so weit wie möglich.

a) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$   b) $\vec{AB} - \vec{CB}$   c) $\vec{PQ} + \vec{RP}$

d) $\vec{MA} - \vec{MB}$   e) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BC}$

3 Vielfache und Rechenregeln

Aufgaben

7. Zeichnen Sie ins karierte Feld einen Pfeil $\vec{a}$ (3 Häuschen nach rechts, 1 nach oben) und einen Pfeil $\vec{b}$ (1 nach rechts, 2 nach unten). Zeichnen Sie dann, jeweils von einem neuen Startpunkt aus:

a) $2\vec{a}$   b) $-1{,}5\,\vec{b}$   c) $2\vec{a} + \vec{b}$   d) $\vec{a} - 2\vec{b}$   e) $\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

Aufgaben

8. Vereinfachen Sie so weit wie möglich.

a) $3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{a} + 4\vec{b}$   b) $2(\vec{a} - 3\vec{b}) - 3(\vec{a} - 2\vec{b})$

c) $\frac{1}{2}(4\vec{a} + 2\vec{b}) - (\vec{a} - \vec{b})$   d) $-(\vec{b} - \vec{a}) + 2\vec{b}$

Aufgaben

9. Lösen Sie die Gleichungen nach dem Vektor $\vec{x}$ auf. Gehen Sie vor wie bei einer Gleichung mit Zahlen.

a) $\vec{a} + \vec{x} = \vec{b}$   b) $2\vec{x} - \vec{a} = \vec{b}$   c) $3(\vec{x} - \vec{a}) = \vec{x} + \vec{b}$

4 Vektorzüge in Figuren

Aufgaben

10. Im Parallelogramm schneiden sich die Diagonalen im Punkt $M$, und $M$ halbiert beide Diagonalen. Drücken Sie durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aus:

a) $\vec{AM}$   b) $\vec{MB}$   c) $\vec{MD}$   d) $\vec{CM}$

e) $K$ ist der Mittelpunkt der Seite $BC$. Zeichnen Sie $K$ in die Abbildung ein und drücken Sie $\vec{AK}$ und $\vec{DK}$ durch $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aus.

Aufgaben

11. ⭐ Das Sechseck $ABCDEF$ ist regelmässig, $M$ ist sein Mittelpunkt, $\vec{u} = \vec{MA}$ und $\vec{v} = \vec{MB}$. Tipp: Das Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, deshalb ist zum Beispiel $MABC$ ein Parallelogramm (eine Raute).

Drücken Sie durch $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aus:

a) $\vec{MD}$   b) $\vec{ME}$   c) $\vec{MC}$   d) $\vec{MF}$

e) $\vec{AB}$   f) $\vec{AD}$   g) $\vec{AC}$   h) $\vec{EC}$